где = - Ус {1 = 0, I, М - 1). Пусть, например, М = 3, k=l и d==0,5. Тогда в соответствии с формулами (6.92) - (6.95) получим: а = - 2/7, ао = 2/7, ai = 8/7, = - 4/7, Wo = 2/7, Wi = 8/7 и Ш2 = 4/7. Это дает выражение для периодической передаточной функции несимметричного вида при /И = 3:

11з(г) = (-+?г-1 + г-).

Постоянное смещение на входе для формулы (6.96) = = 2/3. Поэтому twg = Шо - Ус = - 8/21 ,ш\ = Ш1-Уе= 10/21 и Ш2 = Ш2 -Ус = - 2/21. Центрированное значение периодической передаточной функции несимметричного вида при М = 3

Знание периодических передаточных функций несимметричного вида Wm (z) и W% {z) позволяет просто рассчитать периодический режим на выходе линейного фильтра, пользуясь принципом суперпозиции. Пусть задан произвольный входной периодический сигнал, изображение которого-

.м м

E(г)==-Eм{z)=-[eo + eггr+...+eм.-,z-+Ц,

(6.98)

где б/ (1 = 0, 1, М) представляют собой дискреты входного сигнала на интервале 0 - М. Рассматривая периодически повторяющуюся одиночную дискрету во, можно найти изображение периодической реакции на выходе как произведение

YoM{z)=eoWj,{z). (6.99)

Аналогичным образом для дискреты ei имеем

YiM{z) = eiZ-WM{z)- (6.100)

Полная периодическая реакция от всех дискрет входного процесса

Ym{z)= (бо + exz-1 +... + ем-iz- +) (г) =

= Em{z)W{z). (6.101)

При этом следует иметь в виду периодичность входного процесса, т. е. у [п-\-М] = у [п]. Поэтому, представив

ВЫХОДНОЙ периодический процесс в виде

можно найти его изображение Ym (z) на интервале 0-М

в результате операции умножения

м - 1 М~\ м - 1

Ум(г)= S е;г-/ w,2r= у,г, (6.102)

1 = 0

q = 0

1 = 0

/, 9 = 0

2-j-M-2r>; z-i-=z-.

(6.103)

Так, например, в рассмотренном примере 6.2 были найдены дискреты Шо, Ш1 и Ш2. Если на входе действует периодический сигнал, изображение которого на интервале 0 - М

Ем (2) = ео + ei2-i + 622-2,

то на выходе будет существовать периодический сигнал

0 (z) = г/о + yiZ--\- У~ = (eWa + e-i Wz + ew) +

+ (eoi + бхШо + СаШа) + (СоШг + eWx + СгШо) 2-.

Формулу умножения (6.103) можно записать в матричном виде:

.(6.104)

Введя матрицы-столбцы y = \yi\ и е = еу1, а также квадратную матрицу ш = Шу размером МхМ, вид которых ясен из формулы (6.104), можно определить совокупность ординат периодического режима на выходе как результат матричного произведения у- we. Квадратная матрица w может быть составлена на основании периодической передаточной функции Wm{z). Формула (6.104) представляет, по существу, формулу свертки. Для

Wo W2 Wi

Щ Щ Wo\

Поэтому решение может быть записано в виде

IwjBo+wei + Wiei

Аналогичные зависимости могут быть получены и для центрированного процесса на выходе ¥% {г) через передаточную функцию W°m (2) и матричное произведение t/ = = ti!Pe, где ш" = II ш -квадратная матрица, образованная из коэффициентов передаточной функции по типу формулы (6.104), У° = 1уЦ - матрица-столбец дискрет центрированного периодического режима на выходе.

В случае симметричного периодического входного режима, когда e[n-{-N] = -е[п] и M = 2N, его изображение

(г) ==-(ео + егг- + ... + еы-iZ-+) =

-eo2-"-...-ew-i2-2v+i). (6.105)

Для нахождения реакции линейного фильтра на подобный сигнал в принципе возможно использование передаточных функций W м (г) и Wai (z). Однако эта задача проще решается посредством использования периодической передаточной функции симметричного вида, представляющей собой изображение установившейся периодической реакции дискретной системы на единичную функцию 6w[r], изображенную на рис. 6.17, б.

В соответствии с формулой (6.79) для фильтра с передаточной функцией W (г)

гРо(г) zPi (г)

{Wo-]rWiZ-+ ...+WN-iZ-+). (6.106)

рассмотренного примера (6.2) имеем