дискретной обработки Но (г) или Щ (jX) нуждается в определении, так как ставится задача отыскания производной входного сигнала, а не какой-либо разности образованной из него решетчатой функции.

Пусть, например, требуется получить на ЦВМ первую производную непрерывного входного сигнала в дискретной форме так, чтобы она наилучшим образом приближалась бы к решетчатой функции, образованной из первой производной входного сигнала, при учете помех, вносимых квантованием по уровню. Если исходить из желаемого непрерывного алгоритма обработки в виде рх или /ют, то при учете зависимости г=ехр (рТ) желаемый дискретный алгоритм обработки будет иметь вид

Яо(2)=тГ-Мпг

Щ (А) = тТ-Чп [(l + 1) (l - }l Разлагая последнее выражение в ряд. имеем

т иг И)

Однако подобный алгоритм приводит к нереализуемым на ЦВМ программам. Поэтому при отыскании алгоритмов получения как первой, так и более высоких производных следует, прежде всего, исходить из условия получения реализуемых программ. Ниже излагается один из возможных способов.

Для аналитического представления непрерывного сигнала g{t), заданного после прохождения входного преобразователя ЦВМ значениями в дискретные моменты t = nT, гае и -целое число, а Г-период работы ЦВМ, можно воспользоваться различными интерполяционными формулами [30]. Так, например, вторая интерполяционная формула Ньютона позволяет построить интерполяционный полином по значениям входного сигнала и его обратных разностей в дискретные моменты времени:

g(u)g [п] + uVg [п] + vg [п] -f...

и{и+1) ... + 1)

V"g[n]. (5.295)

(5.296)

Количество членов в формуле (5.295) зависит от требуемой точности интерполяции и вида действительной входной функции g(f), которая заменяется интерполяционным многочленом. Формула (5.295) может быть использована и для экстраполирования. При этом / > пГ и « > 0.

Для получения алгоритма дифференцирования запишем разложение исходной входной непрерывной функции g (t) в ряд Маклорена относительно точки tnT (или « = 0).

=g (0)+ё (0) uT+g(0)+giO) + ...

Формулу (5.295) сгруппируем по возрастающим степеням аргумента:

g{4)=g[n] + {vg[n]+ +

+ Ug [п] + Vg [п] + й V* [п] + ... +

сравнение двух последних формул, а также учет того обстоятельства, что dg/du = Tdg/dt, дает формулы для определения на ЦВМ производных в дискретных

Здесь ы = (/ - и7 Г-1 -относительное время, отсчитываемое от точки t = nT назад, т. е. ыО, а т -число используемых обратных разностей от Vg [п] до V"g [п]. Обратные разности определяются по формулам (2.22), в которые входят биномиальные коэффициенты и предьщущие значения входного сигнала в моменты времени пТ, (пТ - Т), .... (пТ - тТ):

VgW] = g[n]-g[n-l], Vs[n]==g[n]-2g[n-l]+g[n-2l \g[n\g[n]-3g[n-l] + 3g[n-2]-g[n-3],

точках t=nT, т. е. при ы = 0:

(5.297)

Количество членов, входящих в круглые скобки (5.297), будет ограниченным, если входной сигнал может быть представлен конечным числом степенных членов. Однако ряд (5.295) может быть и бесконечным. Это наблюдается, в частности, для сигналов гармонического, в общем слу чае периодического, вида. Так, например, если g=Asin pt, то будут существовать обратные разности всех порядков. В этом случае достижение требуемой точности при ограниченном числе учитываемых обратных разностей может быть получено за счет уменьшения периода повторения Т, так как на малом отрезке времени аппроксимация входной величины g(t) может быть сделана с необходимой точностью при меньшем числе членов разложения в степенной ряд.

При реализации алгоритмов вычисления производных на ЦВМ удобнее оперировать не с обратными разностями, а со значениями входной функции в дискретные моменты времени пТ, (п-1)Т, .... {п - т) Т, хранящимися в ячейках памяти. Это можнй сделать по формулам перехода (5.296) или на основании использования интерполяционного полинома Лагранжа [30], который в данном случае приобретает вид

, u{u+\)...{u-Jrk-\)(u+k)(u + k+l)...(u + m) г ••• +-(X)kk\(m-k)\ gyn-R\ + ...