= - 2рР (О - SvT + 2pD. (4.239)

объекта управления Wq (z), то можно определить передаточную функцию ЦВМ (корректирующую программу)

= (4.236)

В многомерном случае эта операция должна быть сделана для всех каналов управления.

В силу ограниченности возможностей программирования, так как можно ориентироваться только на практически реализуемые программы, не всякий оптимальный фильтр может быть точно реализован в ЦАС, что приводит к необходимости использования субоптимальных систем.

Пример 4.6. Рассмотрим задачу построения оптимального фильтра, если спектральная плотность полезного сообщения имеет вид (4.187):

что соответствует порядку уравнения формирующего фильтра п=1. Спектральная плотность возбуждающего белого шума Q = 2TiD. Спектральная плотность помехи измерения S.a{(i))=N.

Примем, что объект управления соответствует апериодическому звену первого порядка с коэффициентом передачи ko и постоянной времени То. Формирующий фильтр изображен на рис. 4.21. Его передаточная функция

Из структуры формирующего фильтра следует, что Л = -р. = -Т-, В = \х = Т- и С=1. Подставив эти величины в (4.144), получим дифференциальное уравнение для оптимальной оценки y=Xi:

= - г/ {t) + K{t) [g (/) + v(t)-yit)]. (4.238)

Структурная схема оптимального фильтра, соответствующая уравнению (4.238), изображена на рис. 4.33. Дисперсионное уравнение (4.154) приобретает здесь вид

dP(t) о п/п (О

Коэффициент усиления определяется формулой (4.153) через дисперсию ошибки:

K{t)

(4.240)

Найдем сначала установившееся решение нелинейного дифференциального уравнения (4.239). Если положить

uft)

ff(t)

Рис. 4.33. Оптимальный фильтр к примеру 4.6.

левую его часть равной нулю, то получим два решения, одно из которых будет положительно, что требуется для дисперсии ошибки:

М = ( - 1 + + Sf)• (4.241)

Использование Р (со) дает установившееся значение коэффициента усиления из (4.240):

K{c) = [-\+Yjr)- (4-242)

Если использовать это значение коэффициента в оптимальном фильтре, изображенном на рис. 4.33, то получим случай, определяемый решением уравнения Винера- . Хопфа. jTH)-I-

Решение дисперсионного уравнения (4.154) может быть получено на ЭВМ или численными методами. На рис. 4.34 изображен аналоговый вычислитель, решающий дисперсионное уравнение (4.239) для рассматриваемого примера. Однако уравнение (4.239) имеет и аналитическое решение. Для начального условия

Рис. 4.34. Вычислитель для решения дисперсионного уравнения к примеру 4.6,

P(0) = D имеем

P(0 = 2pD/-to)(v-l)-

L (Y + x)2eV-(Y-M)e-T

Здесь использовано обозначение

(4.243)

(4.244)

Нормированные кривые процесса изменения дисперсии ошибки при различных значениях величины 2DgH~N~ приведены на рис. 4.35. Числа, поставленные справа

у кривых, показывают раз-

...... . „

0,007 0,003

0,001

ность между дисперсией в момент относительного времени р/ = 1, 2 и установившимся значением дисперсии. Передаточная функция стационарной части канала управления в соответствии со схемой на рис. 4.33 и формулой (4.232)

Ilic. 4.35. Кривые переходных Wc (р) = „ ] ц ~ "} i у „ процессов для дисперсии к при- Р-ГР

меру 4.6. (4.245)

Однако реализовать такую передаточную функцию оказывается невозможным. Необходимо преобразовать ее в соответствии с рис. 4.31, чтобы избавиться от множителя Ti в числителе (4.245). Кроме того, следует учесть, что реальный объект имеет другую передаточную функцию. Это требует введения корректирующих средств с передаточной функцией, определяемой формулой (4.243):

Wo(p) koi+Tip-

(4.246)

Передаточная функция (4.246) может быть реализована посредством введения в канал уравнения пассивного