СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ ГГЛ. S

где &2(х, t; Xi, /1)- двумерная плотность вероятности. Часто под корреляционной функцией понимают центральный коррелляционный момент x{f) и x(ti), т. е.

К {t, h) = М {{X it) - % (/)] {X ih) - % (h)]] =

CO CO

= \ \ {x{t)-%{t)]{x{ti)-x{h)]x

-CO -CO

X02(x, t; xi, h)dxdxi. (3.16)

В этом случае корреляционная функция (3.15) может быть представлена в виде суммы

R{t, ti) = x(t)x(h) + K{f, к). (3.17)

Корреляционная функция определяет зависимость случайной величины X (ti) в последующий момент времени ti от предшествующего значения x(t) в момент времени i. Это и есть мера связи между ними.

Основные свойства корреляционных функций.

1. Из определения корреляционной функции следует свойство симметрии: R(t, ii) = Riti, t) и K\t, к) = К{к, t).

2. При tx = t корреляционная функция R(t, tj) дает средний квадрат случайной величины, а K{t, 1) -дисперсию:

R(t, f) = M{xit)}=x{t), Kit, t) = M{[x{t)-xm

= D(0. }

(3.18)

3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дисперсий. Поэтому корреляционная функция К, (t, ti) не изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию. Это свойство не относится к функции R (t, ti), так как добавление неслучайных величин к случайным изменяет начальные моменты. В этом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функции.

Корреляционная функция решетчатого случайного процесса может быть найдена из корреляционной функции непрерывного процесса дискретизацией для моментов

(3.19)

времени i = nT и li - tiiT:

R[n, ni] = R (пТ, niT),

К[п, П1] = К(пТ, tiiT).

Аналогично формуле (3.17), имеет место зависимость

R[n, ni] = x[n]x[ni] + K[n, Пг]. (3.20)

Сформулированное выше свойство корреляционных функций (3.18) сохраняется применительно к решетчатым функциям. Таким образом, если в R [п, tii] положить П1 = п, то будет получен средний квадрат рассматриваемой случайной величины:

R [п, п] = М {х [п]} = х \п]. (3.21)

Применительно к функции К[п, ni\ такая замена дает дисперсию

К \п, = М {{X [п] - X [п]Г} = D [п]. (3.22)

Аналогично корреляционной функции (3.15) или (3.16) можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайных величин x{t) и у (t):

R.y(t, fi)M{x(t)x(h)}, 1

К:су (t, h) = М {\X if) - X (0] \X (h) - X ih)]].] -

в случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайные функции x{f) vi у (t) называют некоррелированными (независимыми). Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то x(t) и у (t) носят название коррелированных случайных функций.

Для решетчатых случайных процессов взаимные корреляционные функции можно получить из (3.23) посредством дискретизации для моментов времени t = nT и ti = niT:

R:cy\n, ftij М{х[п\у\Hi]}, 24)

К:су[п, ni] = M{{x[n]-x[n])(y[ni]-y[ni])}.

Стационарные процессы. В случае стационарности процесса корреляционные функции R[n, tii] и К[п, tij] не будут зависеть от текущего значения времени f = nT и будут определяться только временным сдвигом x = ti - t=

= tiiT ~ пТ = тТ. С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведения х [п] и х[п-\-т] или (х[п] - х) и {х[п + т] - х):

R [т] = х[п]х [п + т] =

л/-оо "

Um~-y 2 х[п]х[п + т], (3.25)

n=-N

К \пг\ = (х [п] - х) (х [п -Ь т] - х) =

= Jim2ArfT 2 (х[п]-Х)(х[п + т]-Х). (3.26)

В последней формуле среднее по времени определяется выражением

Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины х в последующий момент времени ti = {n-\-m) Т от предшествующего значения в момент t - tiT.

Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного процесса применительно к величине R [т].

1. Корреляционная функция является четной функцией, т. е. R [- m] = R [т]. Это вытекает из самого определения корреляционной функции.

2. При корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины:

R[0] = x[n]x[n] = x.

3. При т-оо корреляционная функция дает квадрат среднего значения случайной величины. Докажем это. На основании эргодической гипотезы

оо со

R [т] = х[п] х[п т]= XiXi-z [х, Xg, п] dxi dx.

-со -оо

При х = тТ-со величины х и можно считать независимыми. Отсюда, принимая во внимание фор-