Формулы (4.63) и (4.64) являются адекватными и могут одинаково использоваться.

Пример 4.2. Определим минимальное значение дисперсии ошибки системы управления для условий примера 4.1. Воспользуемся формулой расчета ошибки (4.64). Предварительно определим квадраты модулей, входящие в подынтегральные выражения:

11-Я (/«)!==

1+W (/ю)

117 (/Ш)

- КЧ1+<оМ)(»+о)т)

корреляционных связей между полезным сигналом g (t) = = u{f) и помехой V (t). Тогда

?пчп = i S П -1Я (И Р] 5 (СО) dco -

-~ 5 1Я(Усо)=5.(со)йсо. (4.63)

Выражение в квадратных скобках в соответствии с изложенным выше должно содержать множитель со, совпадающий с таким же делителем, содержащимся в спектральной плотности 5(сй). Поэтому интегрирование выражения, находящегося под знаком первого интеграла (4.63), не дает расходящегося результата, что соответствует конечности дисперсии ошибки системы.

Формулу (4.63) можно записать в другом виде. На основании § 3.6 при отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой дисперсия ошибки определяется выражением

?шш = i S и - (/«>) I « +

-сэо

+ 2 J Я(/со)Р5Л«)йсо. (4.64)

5 11-Я (/(О) 1503) (0=2 J

-сзо -со

2Diri do) Difi

I TiTa (/0))S + (ri + Тг) /0) + 1 p (Ti + Та)

Второе слагаемое I

-со -со

J 7V(l + 0)4)d(0 7V(T + TiT2)

~ 2л i I TiTj (/«) -b (Ti + Тг) /со + I P ~ 2tiT2(Ti+T2)

Суммарная дисперсия ошибки оптимальной системы Д DiTi 7V(t + TitJ

/1 + /-

Дисперсия может быть сделана равной нулю при Di-0 (неподвижное положение), при (бесконечно

малые перемещения на входе) и при N-0 (отсутствие помех).

Прогнозирование. В тех случаях, когда требуется воспроизведение полезного сигнала и (i) с упреждением, т. е. при g{t) = u{t-{-Xo), оператор преобразования (рис. 4.1) будет Но(р) = еРо. Тогда формула (4.39) для оптимальной передаточной функции может быть представлена в виде

I У(-/о)) I (4.65)

где определяется равенством (4.30). Для отыскания

реализуемой части выражения в фигурных скобках (4.65) следует воспользоваться обратным преобразованием Фурье

Mo=if{-SL. (4.66,

Первое слагаемое в формуле (4.64)

со со

где «г (/=1, 2, i) -полюсы функции Б(р), а {k=l, 2, .... 92)-нули функции ¥(р).

Если (t) есть искомое обратное преобразование Фурье при отсутствии предсказания (то = 0), то на основании теоремы сдвига

fti(0=ftiH( + To). (4.67)

Аналогичным образом для весовой функции оптимального фильтра можно записать при наличии предсказания

h(t) = K(t + ro), (4.68)

где ha (О ~ весовая функция при отсутствии предсказания.

На основании теории дифференциальных уравнений значения переменных состояния стационарного фильтра x(t + То) = II Xl (t + То) Xi ( 4- То)... Хп (t + То) If в момент времени -f То можно вычислить через переменные состояния X (О = 1 Xl (/) Xz (t)... Хп (t) If в момент времени t и фундаментальную матрицу Ф (Тр), называемую также переходной матрицей, в виде х {t + Хо) = Ф (Хо) х (t), где

Ф11(то) Ф12(ч) ... ФтЫ II Ф21 (Тс) Фаа (То) ... Фа» Ы 1 (4.69)

Фундаментальная матрица описывается тем же уравнением, что и рассматриваемый фильтр, но без правой части, при единичных начальных условиях. Операторный метод нахождения ее приведен ниже, в § 4.5.

В общем случае отыскания R выходных величин фильтра y{t + То) = IIУ1 {t + Xo)... Ун (t + То)Г матричное уравнение, определяющее эти величины, будет иметь вид

у(( + Хо) = СФ(Хо)х(1), (4.70)

где С = Ciyl -прямоугольная матрица коэффициентов размером Rxn. Характеристическое уравнение для фундаментальной матрицы в соответствии с (4.39) и (4.40) должно иметь вид