так, как это изображено на рис. 4.17. Фильтр содержит линейную динамическую систему того же вида, что и исходная система с{юрмирования случайного процесса. При этом в каждый данный момент кТ на выходе фильтра имеется оценка y[k/k-l], полученная по данным на момент времени {k-l)T, а на входе - последнее измерение go[k] наблюдаемой величины.

Реализация фильтра требует знания модели случайного процесса и воспроизведения матричного коэффициента усиления К [к].

Модель процесса

еГк/к-1]

y[h/k-i]

i> е

щит]

ФНи]

Рис. 4.17. Матричная структурная схема дискретного оптимального фильтра.

Как И в непрерывных системах, ошибка оценки переменных состояния также определяется линейной динамической системой в соответствии с уравнением

г{к+\.к] = х\к-\-\]-х[к+\!к\ = Ф[к-\-\,к] {киЩ- -Ф*+ 1, к\х[k/k-l]~K[k]C[k]x[к] = = Ф="[+1, k]e[k,k-l] + u[kl (4.162)

где Ф*[/г--1, ] - переходная матрица для ошибки. Из последнего выражения можно получить рекуррентное соотношение для корреляционной матрицы Р [к] ошибок оценки е[/-1]. Так как матрица-столбец и[к] не зависит от матрицы-столбца ошибок б[/-1], то

Р[к+l] = M{e[k + l, k]e[k+l, k]} =

Ф[к+1, к]Р1к]Ф*[к+1, k] + Q[k], (4.163)

причем в соответствии с (4.138)

M{u[k]u[k + l]} = Q[k\Ml],

(4.165)

где Q Щ - симметричная положительно-определенная матрица пхп. Матричный коэффициент усиления опреде-ляется выражением

К[к]Ф[к + 1, k]P[k]С[k]{СЩР[k]С (4.164)

Подставив (4.159) в формулу (4.163) и использовав также выражение для матричного коэффициента усиления можно получить рекуррентные соотношения для корреляционной матрицы в двух видах:

Я[+1] = {Ф[+1, Щ-

~КтСЩ}РЩ{Ф[к+1, Щ-

-K[k]C[k]Y+Q[kl Р[к+1] = Ф[к+\, k]{P[k]-P[k]C[k]x X (С Щ Р [k] С [А])-1 Р Щ С [Щ] X

хФ[+1, k] + Q[k].

Второе равенство (4.165) представляет собой нелинейное рекуррентное уравнение для корреляционной матрицы, которое и может быть использовано для ее нахождения.

Как и в непрерывном случае, для решения задачи должны быть заданы начальные значения переменных состояния Xo = a:[0] и начальные значения корреляционной матрицы Р[0]. Предполагая, что эта матрица положительно-определенная, можно найти КЩ из (4.165), Ф*[к+]., к]-из (4.159) и Р[+1]-из (4.164). Если матрица Q[k] положительно-определенная, то все значения Р [k] будут также положительно-определенные и требования для получения КЩ согласно (4.165) будут выполняться на каждом шаге.

Оценка точности отработки задающего воздействия может быть получена из (4.161):

r=C[k+\]{x[k + l]-x[k+l/k]}=

= C[+l]e[-f 1/-]. (4.166)

Это дает корреляционную матрицу ошибок отработки задающего воздействия

Ре[k + тU{e\ k + l/k]е [k + l/k]} =

-= М {С -f 1] 6 -f 1/] б+ 1/-] С + 1]} =

C[k-\-l]P[k+l/k]C[k+i], (4.167)

которая может быть определена из корреляционной матрицы для оценки переменных состояния (4.164).

В рассмотренном оптимальном фильтре оценка в момент времени t = kT получается по результатам предыдущих измерений, т. е. до момента времени t = {k~\)T включительно. Такая постановка характерна, например, для тех случаев, когда оптимальный фильтр включает в себя некоторый непрерывный объект управления. Тогда вследствие того, что в реальных объектах управления начальное значение его переходной функции равно нулю, выходная величина объекта (управляемая величина) не может измениться в момент времени t = kT под действием сигнала, поступившего на вход системы в этот же момент времени.

Однако если оптимальный фильтр представляет собой только счетно-решающую схему на дискретных элементах, предназначаемую для выработки оценки какой-либо величины (или величин), например, в задачах сглаживания и упреждения, то такого ограничения нет и входная величина в момент времени t = kT может быть использована для выработки выходной величины в этот же момент времени. Тогда для оптимальной фильтрации с учетом помех измерения получаются следующие алгоритмы.

Уравнение оптимального фильтра:

х[к1к-Ц = Ф{к, к-Цх\ к-\1к-\]г + K\k]{go\k]-CЩФ\k, к-\]х[к-\1к-\]}. (4.168)

Уравнение для матричного коэффициента усиления:

К\к]=Р[к1к-ЦС Щх

X {СЩ Р \klk- 1] с Щ+Р (4.169)

Дисперсионные уравнения:

Р[к1к-\\ = Ф{к1к-\\Р\к-\1к-\-\х

хФ[к, k-\] + B{kmk]B[k\, Р{к1и\ = {1-К{к]СЩР{1к-\]= \ (4.170)

= [1-Р [kik - 1 ] С Щ {С \k\ Р [kik - 1 ] X

xC\k\+R{k\}-]P\ klk-\].