будет значение {х, 4), т. е. допускается - схэ<:лгг<оо. Аналогичным образом, любая плотность вероятности низшего порядка всегда может быть получена из высшей, т. е. высшие плотности вероятностей содержат наибольшее количество информации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможными значениями случайной величины X в различные моменты времени).

Стационарным случайным процессом в строгом (широком) смысле называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей &2, з, • • •. не меняются при любом сдвиге рассмат- Ar=r-r<5/Sr-ctrT риваемого участка процес- "У са во времени. Так как отсюда вытекает независимость одномерной плотности вероятности от време- q -

ни Ь(х, t) = b(x), то по-

лучается, что Х = const и Рис. 3.2. Стационарный непре-D = const вдоль всего слу- рывный случайный ироцесс. чайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая (рис. 3.1,6), будет прямая х - х (рис. 3.2). Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе, определяемое условием D = const, также будет одинаковым на любых отрезках времени.

Для стационарных процессов в узком смысле только двумерная плотность вероятности будет одна и та же для одного и того же промежутка времени т = 4 -между любыми и 4 (рис. 3.2), т. е.

*я(1, i\, ->2, 4)==*2(->1. -2, т), (3.9)

при этом одномерная плотность вероятности не зависит от времени.

Задание всех этих функций плотности вероятности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненными характеристиками процесса.

Для так называемого эргодшеского стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е.

практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности х = X, = х и т. д. Из этого вытекает, что длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).

Для многих стационарных процессов существует математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодической теореме. Для некоторых процессов эргодичность считают очевидной и тогда используют эргодическую гипотезу.

Итак, среднее значение (математическое ожидание) для эргодического стационарного процесса

оо т

х= {x{x)dx = x=lim- [x(t)dt. (3.10)

- 00 -Т

Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков- дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.

Эргодические свойства позволяют сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Это дает возможность для определения зг, D и т. п., вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой x{f), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство эргодического стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями.

В большинстве встречающихся в практике случаев дискретные во времени случайные процессы (случайные

Рис. 3.3. Образование решетчатого случайного процесса.

решетчатые функции) могут быть получены из непрерывных их дискретизацией (рис. 3.3). Таким образом, случайная решетчатая функция может быть определена в виде

x[n] = x{t), t = nT. (3.11)

Совокупность случайных решетчатых функций образует случайный решетчатый процесс, который может быть как стационарным, так и нестационарным. Для стационарного решетчатого случайного процесса практически всегда сохраняется свойство эргодичности.

Среднее значение по множеству (математическое ожидание) может определяться по общей формуле

М{д;[п]}=х[п1= \ xf[x, n]dx. (3.12)

- со

в случае стационарного процесса

М{х[п\} = Х= \ x{x)dx. (3.13)

- оо

Аналогичным образом могут вычисляться начальные и центральные моменты более высоких порядков.

Среднее по времени значение случайной решетчатой функции

= 1™ 2ЛПЛ 2

«= -Л/

Для эргодического стационарного процесса с вероятностью единица имеет место равенство х = х.

§ 3.2. Корреляционная функция

Начальный корреляционный момент двух значений непрерывной случайной функции x(t) и x{ti), взятых в моменты времени t и ti, носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Она может быть найдена из выражения

R{t, h)M{x{t)xik)} =

ОО со

= 5 \ x(t)x (к) *2 {X, t; Xl, h) dx dxu (3.15)