370 синтез цас при неизвестных характеристиках [гл. 5

не должна заходить в запретную область. Доказательство условия De<iDl и здесь не представляет труда, и оно может быть выполнено аналогичным образом. При этом не будет выполняться равенство Ji = Ji, но по-прежнему

л+л<а".

Рассмотрим теперь возможность использования системы с астатизмом второго порядка при задании спектральной плотности скорости изменения входного сигнала Si (со) вида, изображенного на рис. 3.9, е.

Примем передаточную функцию разомкнутой системы в виде

W (р) = ?il+ZiE). (5.49)

Соответствующая л. а. х. изображена на рис. 5.5, в. Общий коэффициент усиления должен определяться в соответствии с формулой (5.18). Постоянную времени выберем так, чтобы корни характеристического уравнения

Р + /С2ПР + /С2 = К2(1 +Tip) (1 +Т2Р)=0 (5.50)

были бы вещественными и отрицательными. Это дает Т2>2/С2° Определим дисперсию ошибки в рассматриваемой системе:

1 (* Nvfi dco

А:(Ц-(й2т?)(1-Ь(о2т)

dco. (5.51)

Интеграл подобного типа рассматривался выше (интеграл Уа)- Поэтому можно аналогичным образом записать

D.< = «. <5.52,

Продолжая рассмотрение для передаточных функций более сложного вида, можно показать, что при использовании передаточных функций вида

условие De < De будет выполняться для любых спектральных плотностей Si (со), если выбрать расположение д. а.

со оо

D.= l S I ял/со) S,(co)dco = l 5

Nda,

-f(u4f)(l+(u4i)

так, как это показано на рис. 5.5, в, и выполнить условие вещественности и отрицательности корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Следует заметить, что рис. 5.5, в не обязательно соответствует использованию систем с астатизмом второго порядка. Если выбрать в передаточной функции (5.48) постоянную времени Ti так, чтобы выполнялось условие Titos (это показано на рис. 5.5, в пунктиром), то в районе запретной области по точности подобная система будет вести себя как система с астатизмом второго порядка. Такая передаточная функция может использоваться в тех случаях, когда требуется наибольшим образом сдвинуть всю л. а. x. в область низких частот. Это дает преимущества в выполнении условий по запасу устойчивости для высокочастотной части л. а. х.

Рассмотрим теперь возможность использования спектральной плотности Siioy) ускорения задающего воздействия. Пусть рис. 3.9, б соответствует спектральной плотности Si (со). Тогда дисперсия ускорения

Da = I /V йо) = П&рМ. (5.54)

Спектральная плотность скорости входного воздействия

5i(co) = = (PilcolPa). (5.55)

Спектральная плотность задающего воздействия

5И<)= = = - (PilcolPa). (5.56)

При co<Pi и со>>Р2 все спектральные плотности равны нулю. Рассмотрим передаточную функцию (5.49). Общий коэффициент усиления Ki выберем в соответствии с формулой (5.18), а постоянную времени Ti>2Ki*. Тогда действительная дисперсия ошибки

872 СИНТЕЗ ЦАС ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ГГЛ. 5

Коэффициенты разложения определяются формулой (5.41):

Этот случай совпадает при замене /Сг на Ki с рассмотренным выше (5.40). Поэтому можно записать

D<W = I = "- (•>

Таким образом, и в этом случае сохраняется условие обеспечения заданной дисперсии ошибки при любой форме спектральной плотности ускорения задающего воздействия.

Следует заметить, что принятое условие вещественности корней характеристического уравнения не является особо жестким. Так как при расчете системы по излагаемой методике практически всегда оказывается некоторый запас точности (De<De), ТО ВОЗМОЖНО отступлсние от этого условия в смысле допущения некоторой колебательности. Однако запас устойчивости должен оставаться достаточно большим, т. е. в системе должно наблюдаться хорошее демпфирование.

Только в предельном случае, когда входной сигнал соответствует гармонической функции с заданными значениями амплитуды и частоты (или заданными двумя дисперсиями) и со случайной фазой, оказывается, что действительная дисперсия ошибки совпадает с заданными значениями, т. е. De = De. Однако в этом случае требование вещественности корней вообще отпадает и запас устойчивости может быть произвольным при сохранении только требования устойчивости замкнутой системы.

В ответственных случаях, когда недопустимо увеличение дисперсии ошибки по сравнению с заданным значением, для гарантии этого можно добиваться получения вещественных корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Рассмотренные доказательства выполнения требований по точности при неизвестной форме спектральной плотности входного воздействия можно распространить и на цифровые системы. Непременным условием здесь должно быть расположение всей запретной области левее частоты со = Г-1. Тогда для интервала частот, в котором располагается запретная область, будет выполняться условие