И, следовательно,

{dc/dt)r

2аг (1 - cos ф)>0,

{dc/dt)r=r = - 2аг (1 + cos ф) < 0.

Таким образом, фазовые траектории с возрастанием t через обе граничные кривые входят внутрь кольцевой области. Применим критерий Дюлака, полагая В{х, у)= i: дР . dQ созД

х + у

•-2.

Кривая D = 0 (окружность радиуса гз = (l/2)cos А) для случая ffl<(l/2)cosA располагается внутри меньшего круга топографической системы (рис. 78) и, следовательно, внутри кольца между крайними кругами топографической системы знака не меняет.

Рис. 78

Рис. 79

Внутри кольца не может быть более одного предельного цикла (рис. 79).

Использование систем сравнения. Иногда при исследовании динамической системы можно получить сведения о ее качественной структуре, сравнивая ее с динамической системой, качественная структура которой известна. Под сравнением здесь подра-вумевается оценка угла между векторами исследуемой системы и системы сравнения и, в частности, установление отсутствия контактов между векторными полями, заданными данной системой и системой сравнения.

Если рассматривается система (А), а системой сравнения является

х = Ро{х,у), y = Qo{x,y), (А)

то, очевидно, нужно рассмотреть выражение

Р{х, y)Qo{x, y)-Q{x, у)Ро{х, у),

которое обращается в нуль в точках касания траекторий системы (А) и системы сравнения.

Использование топографической системы Пуанкаре можно рассматривать как частный случай использования системы сравнения. Системой сравнения в этом случае является система

x = - Fy {х, у), y = Fx [х, у).

В некоторых случаях, когда система содержит то или другое число параметров, иногда удается в качестве удобной системы сравнения взять рассматриваемую систему при частных значениях параметров. Пример 2).

dxldt = у, dyldt = -ах- by + ах + у.

Предполагая отличным от нуля, можно свести исходную систему, изменяя масштабы по переменным х, у, t, к системе с двумя параметрами Я и р.:

dxldt = у, dyldt = -x-Xy + nx~y. (12)

Найдем ее особые точки и выясним их характер.

В конечной части плоскости-две особые точки: К {О, 0) и S{iln, 0). Обе точки простые, их характер определяется по корням характеристических уравнений:

и2+Яи + 1 = 0 для точки К{0, 0),

и2 + Яи-1 = 0 для точки 5(1/р, 0).

В точке S всегда седло (корни имеют разные знаки). В точке К при Я = О - всегда центр, при О < 1Я < 2 - фокус, при Я > >2 - узел (устойчивый при Я>0 и неустойчивый при 1Я<0).

Для исследования бесконечно удаленных частей плоскости воспользуемся отображением фазовой плоскости на сферу Пуанкаре.

Преобразование х - 1/z, у = ц/z позволяет изучить особые точки, лежащие на экваторе сферы Пуанкаре, за исключением особых точек, в которые проектируются концы оси у.

В новых координатах и, z система (12) примет вид

duldx = -Z - Xuz + ц - м2 - иЧ, dzldx = -zu.

Особыми точками на экваторе сферы Пункаре будут точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям z = О, и = \>.. При р.>О это сложные состояния равновесия с Л = 0, osO - два седло-узла. При р = О особые точки, сливаясь, образуют на концах оси X новую особую точку - топологическое седло (случай А = О, 0 = 0), кратность которого равна пяти. Справедли-

«) См. [31].

Н{х,у)

y-]ix + {\k + \)x-

= h.

что непосредственно проверяется.

Так как в начале координат - центр, в точке 0)- сед-

ло, то качественная структура определяется поведением сепаратрис.

Найдем уравнение сепаратрис из условия, что они проходят •через точку 5(1/л, 0). Получим

или где

У = У1- У2,

При x = ifn происходит касание кривых yi и у2. Разность У1~У2 обращается в нуль дважды: если л<0 или л>1. В этих случаях сепаратриса образует петлю.

При Л = О и л > О интегральными кривыми будут гиперболы

va . ..2

У ->

1 2ц ; + ill

т. е. сепаратрисы седло-узлов на экваторе сферы Пуанкаре.

Исходя из вышеизложенного, можно представить всевозможные качественные картины консервативного) случая (Я = 0).

При л < О на экваторе сферы Пуанкаре возможна единственная особая точка - простой узел, и, как было отмечено, сепаратриса седла имеет петлю. Качественная картина изображена на рис. 80.

) Понятие консервативной системы будет дано в гл. 7.

вость этих утверждений можно проверить, проделав рассмотре-яие, описанное в гл. 4.

Для исследования концов оси у сделаем преобразование

X - viz, у = 1/z. Б новых координатах v, z система (12) примет вид dvldx = z + v4 + Kvz - \x.v + v, dz[dx = Pz + Xz - \ivz + z,

я особой точкой, интересующей нас, является точка с координатами i; = 0, z = 0. Оба корня характеристического уравнения для всех значений параметров X и л будут равны единице. Таким •образом, соответствующая точка экватора - простой узел.

Рассмотрим случай Я, = 0. Исходная система допускает интеграл