жутке значений t. Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную траекторию сепаратрису, то для любого конечного промежутка значений t теорема о непрерывной зависимости от начальных условий, очевидно, выполняется. Но при увеличении рассматриваемого промежутка величину г] (теоремы 5 § 7) нужно брать все меныне и меныне.

Рассмотрение интегральных кривых системы (22) в пространстве {х, у, t) аналогично приведенному в предыдущих примерах, и мы его опускаем.

Пример 7.

dxldt--y-x{x+y-i), dy/dt = x-y{x- + y-\). (25)

Полагая з; = р cos 6, i/ = psm0 или р = х + у, 0 = arctg (г ;), найдем

dp" dt

dx dt

+ 2i/-f = 2p2(l-p),

dx dt

x + y

2p(l-p2).

(26) (27)

Интегрируя последнее уравнение, получим

1 -Се

Это - уравненпе траекторий в полярных координатах. При этом р= 1, очевидно, является рехиением (27), соответствующим С = 0,

т. е. траекторией. Траектории, проходящей через точку Л/о(ро, бо), соответствует значение С = (ро-l)e"po. Если ро>1, то О О, р>1; при 0-+оо р->-1 и р-+оо при 0->-(1пС)/2. (Очевидно, при этом 0 изменяется в интервале (In С)/2 < О < Если

Ро < 1, то С < О и р < 1. Тогда р О при 0->-оо ир->1 при 0 От-

сюда следует, что траектории системы имеют вид, указанный на рис. 14. Второе из уравнений (26) показывает, что если траектория проходит через точку М(ро, 0о) при t = to, то 0 = 0о-Ь + ( -о)- Состояние равновесия 0(0, 0), так же как в случае линейной системы (12) примера 4, является фокусом, причем неустойчивым.

Траектория р = 1, т. е. х + у - i = О (в отличие от того, что было в примере 6), не окружена замкнутыми траекториями. Она

Рис. 14

§ 13] ЗАМЕЧАНИЯ по ПОВОДУ ПРИМЕРОВ § 12 35

является изолированной замкнутой траекторией, и все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее окрестности, стремятся к ней при t -* +°о ). Такая замкнутая траектория называется предельным циклом.

Несколько более сложные примеры, исследующиеся в основном непосредственным интегрированием, см. в [12].

§ 13. Замечания по поводу примеров § 12. Приведенные выше примеры (на которых был также проиллюстрирован целый ряд указанных выше элементарных свойств системы (А)) являются примерами исчерпывающего исследования качественной структуры разбиения на траектории, т. е. исчерпывающего качественного исследования динамической системы.

Точное определение того, что называется качественным характером разбиения на траектории и качественным исследованием динамической системы, будет дано в следующем параграфе. Здесь мы опираемся пока лишь на непосредственно геометрически наглядные представления. С точки зрения качественного исследования знание точной формы траекторий не представляет интереса: мы уже подчеркивали это, указывая на одинаковое качественное поведение траекторий в случае узла или фокуса.

Однако существенный интерес представляют, например, знание числа состояний равновесия, факт наличия или отсутствия изолированной замкнутой траектории - предельного цикла, ход сепаратрис и т. д.

В приведенных примерах исчерпывающее качественное исследование разбиения на траектории удалось провести ввиду крайней простоты рассматриваемых динамических систем. Однако такое элементарное и исчерпывающее качественное исследование, как правило, не удается провести в случае произвольной динамической системы вида (А).

Мы не можем рассчитывать получить элементарные выражения для решений или интегралов в случае произвольной динамической систе-мы. Вследствие этого даже очень простые по виду динамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественного исследования создания специальных приемов. Примером этому может служить уравнение Ван-дер-Поля

На каждой траектории, лежащей вне предельного цикла, t изменяется от конечного значения (InС)/2 до оо. Это можно выразить, сказав, что при убывании t точка на такой траектории уходит в бесконечность за конечное время, так что траектории, лежащие вне предельного цикла, не являются целыми.

т. е. система

х = У, у =К(1 - х)у - X,

качественному исследованию которой было посвящено большое количество работ.

Таким образом, естественно встает вопрос об отыскании регулярных методов качественного исследования динамических систем илц хотя бы о достаточно эффективных приемах такого исследования, тем более что, как уже указывалось в § И, даже в тех случаях, когда у рассматриваемой системы существует аналитический интеграл (в смысле § 10) и найдено его аналитическое выражение

F{x, у)С, (28)

вопрос качественного исследования разбиения на траектории,как правило, не делается тривиальным (в настоящее время не существует регулярных методов качественного исследования семейства кривых (28) даже в случае, когда F{x, г/) - многочлен).

Поэтому представляется целесообразным отыскание методов или приемов непосредственного качественного исследования системы (А) без предварительного нахождения аналитических выражений для решений.

Однако сначала естественно установить некоторые общие свойства разбиения на траектории. Укажем сначала следующий

Рис. 15

Рис. 16

весьма элементарный факт, являющийся, однако, весьма существенным для понимания основных свойств разбиения на траектории: в окрестности всякой «не особой» (отличной от состояния равновесия) точки «в малом» траектории ведут себя аналогично пара.тлельлым прямым (рис. 15). Это можно проследить на всех