Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [ 107 ] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

Бифуркационные кривые {4.5} и {5.6} начинаются и заканчиваются на линиях Я = 1 и 1 + р2 - 2 = 0.

Кривая {4.5} не выходит из полосы 1 < Я < УЗ/2 и заканчивается в точке В. Сепаратрису сложной особой точки на рис. 168, II-III МОЖНО рассматривать как вырождение сепаратрисы точки Oi на рис. 169,-5 при предельном переходе, сохраняющем при сближении точек Ог и Оа петлю сепаратрисы. Кривая {5.6} заканчивается в точке С (см. рпс. 167). В точке С, как и на кривой {5.6}, сепаратриса седла 0\ идет в седло Оа (см. рис. 168, III-IV, 169, 5-6). Нп для одной точки любой прямой % = const, проходящей выше точки С, это ужо невозможно.

Кривая {6.7} начинается на прямой Я = 1 и заканчивается на кривой 0 = 0. Дальше она превращается в кривую {6.8), заканчивающуюся в точке D кривой \ + - "к = Q. В точке D, как п на кривых {6.7} и {6.8}, а- и со-сеиаратрисы седла Оа образуют петлю. Ни для одной точки любой прямой "к = const, проходящей выше точки D, это невозможно.

Кривые {4.5}, {5.6} и {6.7} на прямой Я = 1 пересекаются в одной точке F. В этой точке осуществляется структура разбиения на траектории высокой степени негрубости, представленная на рис. 169,4-5-6-7. Точка (я/2, 0)-сложная особая точка. Только от структуры 4-5-6-7 с петлей сепаратрисы можно сколь угодно малым изменением параметров перейти к негрубым структурам 4-5, 5-6 илп 6-7, но, так как изменетше i разрушает петлю, на прямой к = \ может существовать лишь единственная точка со структурой, содержащей петлю сепаратрисы,- точка пересечения кривых {4.5}, {5.6} и {6.7).

Множество точек, соответствующих бифуркационной картине 169,7-S с двойным полуустойчивым предельным циклом, на рис. 167 образует непрерывную кривую {7.8} с положительным наклоном. Кривая {7.8} начинается на прямой Я = 1 и заканчивается в точке пересечения кривых {6.7} и {6.8}, служащих продолжением одна другой, с кривой 04 = 0 (точка Е на рис. 167).

На рис. 167 представлена (без соблюдения масштаба) схема расположения бифуркационных кривых в плоскости (р, к) для рассматриваемого случая рО, ki.

Для качественных картин в различных областях на рис. 167 остается неустраненной логическая возможность того, что число предельных цитглов в действительности окажется большим на четное число циклов. Используя конкретные особенности уравнения (1), для некоторых кусков плоскости параметров возможно устранить эту неопределенность.

а) Если к>3\х, то система (1) имеет единственный предельный цикл, охватывающий цилиндр.

Введем в правые части системы (1) множитель р"" (этим лишь вводится вместо t другой параметр, другое «время»). Ха-



о -л -п

Легко проверпть, что dF/dp < О при к > Зр, и, следовательно, характеристический показатель с возрастанием р может изменить знак не более одного раза. Так как в рассматриваемой области число предельных циклов может быть только нечетным, то, следовательно, цикл один.

б) Если I > Зр/Г1 + 4р2, р > 1/Г2, 1 + р2 > 0 система (1) не имеет предельных циклов, охватывающих состояние равновесия.

Если прямая p = V(3p), на которой обращается в нуль выражение

а (p-VP); + (p-V); p-V зр),

проходит ниже седла О4 (и ниже левой а-сепаратрисы седла О4, ограничивающей снизу область возможного расположения предельного цикла, охватывающего точку Оз), то в силу критерия Дюлака предельный цикл вокруг точки О3 не может существовать. Условие V(3p)=p4 в раскрытом виде дает первые два из написанных выше неравенств. Последнее неравенство есть условие существования точек Оз и О4.

в) Если Я 3/2, го система (1) не имеет предельных циклов, охватывающих состояние равновесия и не может иметь более одного цикла, охватывающего цилиндр.

Если прямая р = Я/(Зр) проходит ниже минимума изоклины горизонтальных наклонов, то из критерия Дюлака следует не только отсутствие предельных циклов, охватывающих состояние равновесия (pmm =(Я -1)/р лежит ниже точки О4), но также и единственность предельного цикла, охватывающего цилиндр, так как в этом случае этот цикл не может пересекать прямую р = = Я/(Зр). Условие Я/(Зр)=(Я - 1)/р эквивалентно условию к > 3/2.

Приложение I. По направлению

К2 = -2nVA. = 2(1-А,2)/А,

входит в особую точку ш-сепаратриса седло-узла. Касательная к ней в особой точке (фо, р) будет иметь уравнение

р - Ро = х.2(ф - фо), фо = arcsin %-\ Ро = ц1К.

рактеристцческий показатель предельного цикла, охватывающего цилиндр (если один или несколько таких циклов существуют), можно представить в виде г



Касательная пересекает ось р в точке с ординатой p= + lfc)aTcsi„4-.

Если ш-сенаратриса седло-узла ионадает в область выше максимума изоклины горизонтальных наклонов + то, очевидно, предельные

циклы, охватывающие цилиндр, не могут существовать. Это заведомо осуществляется для значений параметров, нри которых выполняется неравенство (1 + ц)/ц < pi и для которых ш-сенаратрпса на интервале О < ф < фо лежит выше касательной. Прп Аоо будет + и pi-> 3, и, сле-

довательно, указанное неравенство выполняется для достаточно больших X.

Покажем, что ш-сенаратриса для достаточно больших X лежит выше касательной. Рассмотрим точкп иересечения изоклины направления К2 и касательной. Исключая р и заменяя ро и К2 их значениями, ирпходим к уравнению

[1 - 2.1 (ф-фо) ] [1 + 2цЗ (ф-фо) - I sin ф] == ц [А, cos ф - ц + 2(.i2 (ф - фо) ].

Левая п правая части этого уравнения, рассматриваемые как функции Ф, в точке Ф = фо обращаются в нуль и имеют совпадающие первые производные. Разность значений вторых производных сохраняет знак нри достаточно больших X на всем интервале О ф фо, т. е. изоклина и касательная не пересекаются. Изоклина лежит ниже касательной (величина Р* - корень уравнения, определяющего ординату точки иересечения изоклины К2 с осью р, стремится к единице ири А, -> оо, и, следовательно, ири больших X будет < р).

Так как ш-сенаратрпса вблизи точкп ф = фо нрп больших X лежит выше касательной (это будет показано), а изоклина наиравленця кг - ниже касательной п так как изоклина п касательная на интервале О ф фо не пересекаются, то, очевидно, и-сенаратриса также не может пересекаться с касательной и располагается выше касательной на всем интервале О ф Фо.

Указанное расположение сепаратрисы и касательной вблизи точки следует пз того, что

гГр ii (8ц* - 5ii" - l) , dp

lim -; = -7---, lim -5- = K„,

Ф-.Фоф- Х(2ц--1) Ф-Ф„

и, следовательно, при больших X на ш-сенаратрисе с?р/с?ф > О вблизи точки ф = фо.

§ 5. Система, описывающая динамику проточного химического реактора. Система [125, 129]

х = -1хе-« + {1-х)Р{х, у), y=lxonxe--H{y-yo)=Q{x, у)

описывает динамику химического реактора полного перемешивания.

По смыслу задачи х > О, у > О, р > 1 и все остальные параметры п, X, Xq, Уо - положительные (не обязательно целые).

1. Число и характер состояний равновесия. В рассматриваемой задаче Р{х, у) и Q{x, г/)-трансцендентные функции, ноэто-




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [ 107 ] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0141