§ и НЕКОТОРЫЕ РЕЦЕПТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 241

вативной системы

± = -дН1ду, у = дН/дх.

При использовании этого метода, как мы видели (гл. 11,§ 7), данная система рассматривается как система, близкая к линейной или нелинейной консервативной. Очевидно, для этого нужно специально представить рассматриваемую систему в таком виде. Это, во-первых, далеко не всегда бывает возможно в сколько-нибудь разумных границах и, во-вторых, требует предположения о малости по крайней мере одного из параметров, которое также не всегда соответствует тому, что имеет место в реальной задаче.

Кроме того, по смыслу метода малого параметра он не дает никаких методов оценки для величины параметров, при которых мы можем утверждать, например, существование цикла.

Тем не менее этот метод иногда бывает весьма полезным, и мы приведем в дальнейшем ряд задач, рассмотренных этим методом. Во всяком случае он дает знание качественной структуры при частных значениях параметров (именно, в предположении, что некоторые из параметров малы), которое вместе с исследованием вопроса о возможных бифуркациях при переходе от одной качественной картины к другой может помочь установить возможные качественные структуры системы и без всяких предположений о малости каких-либо параметров.

Отметим, что во всех рассмотренных в дальнейшем примерах грубые системы в пространстве параметров заполняют области.

§ 1. Некоторые рецептурные указания. Качественное исследование динамической системы без использования метода малого параметра

dx/dt = Р{х, у, li, Яп), dy/dt = Q{x, у, Xi, Хп)

естественно начинать с исследования состояний равновесия. При этом:

1) Если удается определить координаты состояний равновесия (при всех значениях параметров, входящих в правые части) и установить их характер, то необходимо установить также значения параметров, при которых у системы существуют негрубые состояния равновесия, т. е.:

а) состояние равновесия, для которого А = 0;

б) состояние равновесия, для которого А > О, а = 0.

Таким образом, в пространстве параметров определяются бифуркационные поверхности (в случае двух параметров - бифуркационные кривые А* = О и а* = 0).

2) Если координаты состояний равновесия не определяются элементарно, то рекомендуется непосредственно отыскивать либо состояния равновесия максимальной кратности, возможные у рассматриваемой системы (т. е. состояния равновесия, для ко-

торых прежде всего А = О, а затем выполняются условия, характеризующие возможно большую кратность), либо состояния равновесия, для которых А > О, 0 = 0.

Как правило, координаты сложных состояний равновесия удается определить проще, чем грубых. (Этот факт будет проиллюстрирован на ряде примеров.)

Прием, заключающийся в рассмотрениях грубых объектов, близких к объектам «высокой степени негрубости», используется не только при рассмотрении дифференциальных уравнений, но также в разных других областях (так, например, при рассмотрении алгебраических кривых, для которых, так же как и для динамических систем, имеют смысл и значенпе понятия грубости и степеней негрубости).

Рассмотрение кривых, близких к кривым со многими особыми точками (в частности, к распадающимся кривым высокой степени негрубости), является в настоящее время основным приемом (этот прием использован в работах Харнака, Гильберта и др.), позволяющим устанавливать возможную качественную структуру грубых алгебраических кривых.

Если установлены координаты и значения параметров, соответствующие состоянию равновесия максимальной сложности, то часто удается установить все возможности, которые могут осуществиться в отношении числа и характера состояний равновесия, при значениях параметров, близких к значениям, соответствующим состоянию равновесия максимальной сложности.

Если установлены значения параметров, соответствующие наличию состояния равновесия, для которого А > О, а = О (т. е. имеющему чисто мнимые характеристические корни), и удается найти его координаты, то иногда, если удается вычислить ляпу-новскую величину, можно сделать заключение также и о наличии при некоторых значениях параметров предельного цикла.

3) Если какими-либо приемами (например, классическими, или путем приближенного вычисления, или путем использования прп малых значениях параметров метода малого р) установлена качественная структура в двух различных точках Ri и 7?2 пространства параметров, то при изменении параметров от одной точки Rl к другой /?2 иногда можно установить, например, наличие сепаратрисы, 1здущей из седла в седло, и в связи с этим появление предельных циклов.

Иногда удается также установить расположение сепаратрисы седло-узла и в связи с этим - появление предельного цикла при исчезновении седло-узла.

Таким образом, вопрос о расположении сепаратрис, в частности, тесно связан с вопросом о существовании предельных циклов.

4) При исследовании вопроса о существовании или отсутствии предельных циклов следует пробовать как все классические

приемы - критерии Бендиксона и Дюлака, подбор топографической системы, метод малого р-, исследование бесконечности (когда это возможно),- так и описанные выше приемы теории бифуркаций (исследование возможности рождения предельного цикла из сложного фокуса, из петли сепаратрисы седло-узла при его исчезновении). При этом, пожалуй, наиболее эффективным методом, с помощью которого может быть доказано существование предельного цикла (при некоторых значениях параметров), является установление существования сложного фокуса (если, конечно, такой фокус вообще существует) и доказательство рождения из него предельного цикла (той или другмг устойчивости).

Иногда удается доказать наличие петли сепаратрисы и, используя седловую величину, доказать рождение при ее разделе-нпи предельного цикла, устойчивого или неустойчивого (в зависимости от знака седловой величины). При использовании методов теории бифуркаций наибольшие трудности возникают при доказательстве отсутствия или наличия предельных циклов, появляющихся при разделении двукратного предельного цикла, возникающего из уплотнения траекторий.

Доказать как невозможность возникновения двукратных циклов из уплотнения траекторий, так и их возникновение, как уже было сказано, обычно не представляется возможным, и поэтому полное однозначное исследование вопроса о предельных циклах удается проводить очень редко. Обычно проводится исследование «с точностью до четного числа предельных циклов». Однако существование двукратных циклов иногда все же удается доказать, как мы это увидим на ряде примеров.

Приведем в настоящей главе некоторые несложные примеры качественного исследования. Более сложные примеры даны в гл. 16.

§ 2. Некоторые простые примеры качественного исследования динамических систем на плоскости.

Пример 1 [31]. Рассмотрим систему примера 2 § 5 гл. 6, т. е. систему

dxIdt = у, dyldt = -х-Ху + цх-у. (1)

В гл. 6 эта система рассматривалась при всевозможных значениях параметра р,, но при некоторых ограничениях на значе-. ние к. Здесь мы рассмотрим изменение качественной структуры системы (1) в зависимости от входящих в нее параметров X и [а при любых Х> 0.

Напомним, что кривая контактов системы (1) с консервативной системой, соответствующей значению X - О, есть

Ху = О,