Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [ 98 ] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

Для ее вычисления перейдем в уравнениях (10) к новым переменным X, у ж X ио формулам

т = со/,

в новых переменных уравнения (10) примут вид

dx "dt

dy dx

X" -

= X +

(13)

Для уравнений (13) величина as может быть подсчитана по готовой формуле (гл. 11). Получаем

а = -

Ъпа"

(14)

Отметим, что в выражения (11) и (14) для аз и as не входит величина хо и, следовательно, полученные выражения относятся как к левому {х\), так и к правому {х2) сложным фокусам для значений параметров на прямых (7) и (8) при Я>1.

2, Поведение в бесконечности. Построим на плоскости {х, у) прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, для которого изоклина у = а - Хх служит диагональю. Если такой прямоугольник взять достаточно большим, то изоклина у = =>ф(а;), порядок роста которой выше, чем у прямой, стороны,

параллельные оси у, не будет пересекать, а каждую из других сторон пересечет в одной точке. Все траектории системы (1) будут с возрастанием t входить внутрь такого прямоугольника. Бесконечность при любых значениях параметров системы будет неустойчивой (рис. 157).

3. Качественная структура фазового пространства и пространства параметров.

3.1. Симметрия в фазовом пространстве. Перенесем начало координат в точку перегиба характеристики г/ = ф(а;). Система (1) примет вид


Рис. 157

Л. dt

V - Зас

= а -

QabX + Qabc - 2Ь

27а=

- Х1 - у\ = а - к1 - ц,

(15)



а = о -

9аЫ + Шс -26*

Из (15) идно, чтЮ:

а) если а = 0, то фазовое пространство системы (15) симметрично относительно начала координат (точки перегиба характеристики) ;

б) если две прямые т] = Oi - Л и т] = 02 - 5 располагаются симметрично относительно начала координат (ai-ba2 = 0), то фазовые портреты для значений oi и Ог будут симметричны относительно точки перегиба характеристики.

При изучении пространства параметров можно поэтому ограничиться рассмотрением только части пространства параметров а, К - либо выпге, либо ниже линии симметричных структф а =

= Хск + ус, где хс, г/о -координаты точки перегиба характеристики. В раскрытом виде

Ъ . , ЯаЪс - 2Ъ - г.


На рис. 158 жирной линией изображена дискрими-нантная кривая, прямые смены устойчивости Li=0 и Z/2 = 0 (соответственно для фокусов Xl ж Х2) и линия симметричных структур L = =0, проходящая через точку пересечения Li = О и 1/2 = 0 (штриховая кривая соответствует наличию двукратного предельного цикла, что будет доказано ниже).

Дальнейшее рассмотрение ведется для значений параметров ниже линии симметричных структур.

3.2. Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль прямой смены устойчивости фокуса х\. Проследим за бифуркациями и изменением качественной структуры разбиения фазов.-го пространства при из менении параметров вдоль прямой Li = 0.

Пусть Я, > Яз. При этом «а < О и сложный фокус xi будет устойчив. Принимая во внимание, что - Зас - За > О (см. (6)), из (12) и (9) находим, что Яз > я1, п, следовательно, для этих



значений параметров система (1) имеет одно состояние равновесия. При уменьшении X от значения Я = Яз меняет знак аз, сложный фокус меняет устойчивость (оставаясь сложным) и от него рождается устойчивый предельный цикл. При дальнейшем уменьшении Я на интервале Я] < Я < Яз устойчивый цикл сохраняется. Значение Я = я1 соответствует касанию прямой а - Хх - у - 0 и характеристики у = (р{х). При этом на фазовой плоскости возникает седло-узел с неустойчивой узловой областью {Рх + <?у = - ф (о) - 1 в седло-узле) и, как можно убедиться, при любых характеристиках, соответствуюш;их определенному выбору коэффициентов ((х), именно внутри предельного цикла.

Если для некоторых аппрокспмацпп седло-узел возникает внутри цикла, а для других вне его, то по непрерывности должна существовать и такая характеристика, для которой седло-узел возникает на предельном цикле. Но седло-узел с неустойчивой узловой областью не может возникнуть на устойчивом предельном цикле (гл. 11).

Таким образом, достаточно знать взаимное расположение цикла и седло-узла для какой-либо одной конкретной аппроксимации. Для системы (li с аппроксимацией (р{х)= х/З - За; + 7х я параметрами о = 49/7, Я = 7/4 (соответствующими состояниям равновесия сложный фокус и седло-узел) численным методом установлено, что цикл охватывает седло-узел. Следовательно, зто имеет место для любых кубических аппроксимаций.

При дальнейшем продвижении вдоль прямой Li внутрь области, ограниченной дискриминантной кривой, седло-узел распадается на седло и неустойчивый узел, который затем превращается в фокус. Точке пересечения Я = Яо прямой Li = О с линией симметричных структур L = 0 соответствует фазовое пространство, содержащее два сложных фокуса, расположенных симметрично относительно седла (а-сепаратрисы седла идут к устойчивому циклу, охватывающему все три состояния равновесия, и-сепарат-рпсы скручиваются с неустойчивых! сложных фокусов).

Замечание. Качественная структура разбиения фазового пространства на траектории по использованной информации описывается лишь с точностью до дополнительного четного числа предельных циклов, возможно, возникших из сгущения траекторий. Такая неполнота и в дальнейшем не может быть устранена.

3.3. Структура разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль линии симметричных структур. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль линии симметричных структур L== 0. Пусть Я > Яг (Яг определяется выражением (4)). Единственное состояние равновесия системы - неустойчивый фокус (узел). Бесконечность неустойчива. Вокруг фокуса существует




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [ 98 ] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0281