У{у-е,){у+Зу-ЗН) 21)

/(г/-«з)(/+3г/-3й)

а для О < /i < оо в виде

у - COS ф

к = -. (22)

~~ COS ф

В обоих случаях k-Q при hО, яо точка {к = О, h = 0) не принадлежит кривой k=k{h) (предельные значения ifi(0> ) при перемене знака к переходят от + к - °°, проходя через значение - 9л/2).

Для дальнейшего исследования привлечено численное интегрирование.

Численным интегрированием устанавливается), что функция k=-k{h), определенная формулой (21), есть монотонная (убывающая) функция при значениях - 2/3 <h-<0.

Очевидно, что при этом делается соответствующее допущение, что увеличение точности счета не изменит сделанные выводы.

Уравнение

{h, к) = (} (19)

можно рассматривать как уравнение кривой в плоскости (h, к). Разрешая уравнение (19) относительно к (что, очевидно, возможно, принимая во внимание выражение для if)(/i, к)), будем на ПЛОСКОСТИ {h, к) рассматривать эквивалентную (19) кривую

k = k{h). (20)

Функция k=>k{h) определена для всех h> - 2/3, за исключением h = 0. Изучение поведения кривой k = k{h) (или, что то же, кривой (19)) будет иметь для изучения поведения кривой ip(/i, к)=0 основное значение.

Воспользовавшись опять преобразованием

у =e2 + (ei - e2)smФ,

представим функцию k = k{h) для значений h, - 2/3sg/i<0, в виде

Для значений h>0 яз выражения (21) численным интегрированием устанавливается монотонный характер функции k(h) для тех значений h, при которых А; < 3.

Монотонный характер возрастания k{h) при тех значениях h, при которых к>3, следует из выражения для dk/dh. Именно, после надлежащих вычислений можно получить следующее выражение для dk/dh:

dk dh

Г 2г/ (fe - 3 cos ф),

COS ф и

Это выражение заведомо положительно для к 3, так как для h>0 будет г/2 - cos ф > 0.

График кривой k = k{h) представлен на рис. 152. Уравнения (21) и (22) дают для каждого h = ho то значение к = ко, которому соответствует кривая if) = if)(/i, ко) в плоскости (ifi, h), имеющая экстремум при h = ho. Так как = А; (/i) - монотонная функция в каждом из интервалов -2/3</i<0 и О </i < <», то, очевидно, для каждого фиксированного к = ко кривая ifi=if)(/i, А;о)

в плоскости (ifi, h) может иметь не более одного экстремума в каждом из интервалов (иначе различным h соответствовало бы одно значение А;; это невозможно в силу монотонности A;(/i)). Рассмотрим возможные случаи поведения ij;(/i, А;) для различных значений параметра.

1) A; = A;i>3. Так как в этом случае ifi(-2/3, A;i)>0 и {h, kj)>0 в интервале - 2/3 </i < О (множитель к - уъ (12) положителен), то в этом интервале нет ни одного корня if)(/i. А;). Так как i:(0, A;i)>0, а {h, ку) для достаточно больших h отрицательно, всегда существует корень {h, к{) в интервале О </г < оо. Этот корень единственный, так как if)(/i, А;) может иметь здесь только один экстремум (максимум).

Здесь опять гз(-2/3, h)<0, но г{0, h)<0 и

гз(/1, кз)>0 для достаточно малых h. В интервале - 2/3</i<0 функция ij)(A, Лз) не имеет корней. Если кз лежит достаточно 1 / 1 \

близко к значению Г* "т- > при котором ф (А, /с) проходит через 8л \ /

начало координат, то кривая \lp{h, кз) должна пересекать для положительных h ось h. Так как для достаточно больших h будет гз(/1,/(;з)< О, то должен суш;ествовать и второй корень функции

гз(/г, кз). Таким образом, в интерва-"•f ле О < А < °о функция ypih, кз) имеет

два корня (не может быть более двух корней, так как i>(/i, кз) имеет один экстремум).

4) О < А =/£4 < А;*. В интервале - 2/3</г<0 опять нет корней. В интервале О < /г < <» также их нет, так как по самому определению величины к* только для значений к>к* кривая \з(/г, к), пересекаю-гцая ось гз в точке с отрицательной ординатой, пересекает далее ось h. Pjjg Существование такого значения к =

= к* следует из того, что для к<0 будет \з(-2/3, к)<0, гз(0, А)<0, гз(/г, А)<0 для малых h и ф(/г, к) не имеет действительных корней).

Рассмотренные случаи поведения {h, к) изображены на рис. 153. Из выражений (9) и (10) следует также, что dij)/dA;>0 для всех к, отличных от нуля. Отсюда следует, что ij)(/i, к) образует для к¥=0 в плоскости (гз, h) семейство непересекающихся кривых, непрерывно зависящих от параметра к. Это обстоятельство позволяет легко проследить зависимость корней гз(, к).

Для к> 3 существует единственный положительный корень ф(/г, к). С убыванием к этот корень убывает.

) Значение к*, очевидно, может быть вычислено из условий ф(/1, к) - = О, 1з(/г, к) - 0.

2) T< = 2<3. В этом случае гз(-2/3, к2)<0,

\з(0, к2)>0. В интегвале - 2/3 < А < О функция \{h, 2) имеет один экстремум (минимум), в интервале 0</i<oo функция гз(А, /сг) имеет один экстремум (максимум). В каждом из интервалов \{h, /сг) имеет по одному корню.

3) Л* <; /с = /Сз <; --- (к* «достаточно близко» к значению