{рт + 1)2 " - "20 - (pm + 1)3 • "11

-, d = -m - 1, & = -1,

"30 - (pm + 1)* ~ + 1 " - "2 -11

«02 = «21 = «12 = «03 = Ьго = Ьо2 = Ьзо = 21 = bi2 = 60З = 0.

Подставляя значения коэффициентов в формулу для первой ляпуновской величины Li, воспользуемся очевидными соотношениями

a=-d = m +1, «, =

2-t- "20 ~ трт + у

Р« К + 1)3(рто + 1)

30 - (pm + 1)2 "01- Gpm "*2 + 1-

Учитывая условия о = О, Д > О, получаем после элементарных вычислений по формуле для L гл. 11 и отбрасывания индекса у т

я (та + 1) / (т)

"" 4ДУД m(pm+l)2

/(т) = p(p-bGp-l)m2+2(p-l-Gp)m-b р - 1.

§ 4. Симметричный полет самолета в вертикальной плоскости (задача Н. Е, Жуковского). Будем рассматривать систему [148, 42, 45]

difldt = р - созф = Р, dpjdt = 2р(Я - рр - зтф) = (1)

для значений параметров р О, Я 1.

Б цилиндрическом фазовом пространстве (на полосе -я ф я, р 1 с отождествленными краями) состояния равновесия будут

0,(-я/2, 0), 02(я/2, 0), Оз(фз, рз), 0{щ, р), где

Я(х +/1 + (х -Рз.4 = cos фз,4 = ---j--

и знак плюс перед корнем соответствует точке Ог.

Б) Пусть выполняется условие

l-p+Gp <0.

Можно показать, что кривая S расположена целиком ниже асимптоты и не самопересекается.

Приложение II. Для вычисления ляпуновской величины в случае, когда Oj-сложный фокус, приведем систему (1) в окрестности Ог к стандартной форме. Пусть тг, иг - координаты состояния равновесия О2. Полагая т - тг = Ii и га - П2 = v, запишем систему (1) в новых переменных:

du/dx = аи + bv -{- aou -f auv -f agiv + asgU + auH -f ai2uv -f- aav,

dvldx = CU + dv -{- b2oV + buv + 602 + 630" + b2iuv + bnuv -f- bav

(t-новый параметр).

Путем элементарных вычислений получаем

В пространстве параметров на кривой i. + \х - К = О сливаются точки Оз и Oi, а на прямой X = 1 - точки О4 и о2. Вьппе кривой 1 + [х -2 = 0 система (1) имеет два состояния равновесия: Ol - седло и О2 - неустойчивый узел. Ниже кривой - четыре особых точки: Oi, о2, Оа - узел или фокус, О4 - седло.

Слияние особых точек-простейшая бифуркация системы (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия Оз, с бифуркациями сепаратрис (сепаратрисы, идуш;ие из седла в седло) и появлением предельных циклов из бесконечности, из петли сепаратрисы, из сгуш;ения траекторий и из сепаратрисы особой точки седло-узел. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1).

1. Состояние равновесия Оз будет иметь чисто мнимые корни характеристического уравнения для точек кривой cTjSs

= {Рц) + Ср)з = 0> PQp - PpQ > 0> где вместо р и ф должны быть подставлены координаты точки Оз- Кривая Оз = О представляется уравнением

Она начинается в точке (р, = У1/5, X = 1) и заканчивается на кривой 1 + [х - Х = О, которой она касается в точке В (1/1/2, УЗ/2). При переходе через кривую оз = О в направлении возрастания ц фокус из неустойчивого становится устойчивым, и из него появляется неустойчивый предельный цикл. Первая ляпуновская величина для точек кривой Оз = О имеет значение

пХ (1 + iii)

3t/2(l-2t2)

•>о.

Рис. 167

2. Проследим за изменением качественной структуры и бифуркациями при движении точки в пространстве параметров вдоль кривой 1 + + ll - К = 0. Точкам на этой кривой соответствует сложная особая точка, возникшая в результате слияния Оз и О4. Это будет особая точка типа седло-узел для всех точек кривой, за исключением двух: точки (р, = О, Х=1), для которой в фазовом пространстве сливаются три особые точки, и точки В (рис. 167)-вырожденного седло-узла. Качественная картина разбиения фазового пространства на траектории будет определяться наличием или отсутствием предельных циклов, охватываюгцих фазовый цилиндр, и расположением сепаратрис, ограничиваюш;их узловую область особой точки седло-узел. На рис. 168 изображе-

ны структуры, осуществляющиеся вдоль кривой при возрастании параметра р,.

Для точки А{0, 1) пространства параметров К, р, (см. рис. 167) картина разбиения фазового цилиндра па траектории представлена па рис. 168,7 (см. пример 1 §3 гл. 14). Предельных циклов пет (это вытекает из расположения контактной кривой рассматриваемой системы и консервативной системы р, = Я = 0) (см. гл. 6, § 5). Есть только две особые точки: седло Oi и сложная особая точка О234 (л;/2, 0). На куске АВ кривой будет осуществляться структура разбиения, представленная па рис. 168,7/. При переходе от точки А к точкам куска АВ осуществляются две бифуркации: 1) от сложной особой точки отделяется особая точка типа седло-узла с неустойчивой узловой областью, так как на куске АВ будет = (Рф + Ср)з4 = (1 - 2р)/Я> 0; 2) из бесконечности появляется устойчивый предельный цикл, так как в уравнении появляется член -р,р, и бесконечность становится неустойчивой. В точке В происходит бифуркация: точка становится вырожденной, и исчезает узловая область. Внешним признаком этого служит обращение в пуль величины 034. При переходе через точку В вдоль кривой в направлении возрастающих р, особая точка седло-узел с неустойчивой узловой областью превращается в седло-узел с устойчивой узловой областью, так как величина аз4 меняет знак и становится отрицательной. Качественная структура фазового пространства, представленная па рис. 168,/7/, будет существовать на некотором куске кривой, примыкающем к точке В справа.

Для прослеживания дальнейших бифуркаций вдоль кривой i + ц - к = 0 существенным является выяснение качественной структуры разбиения па траектории при больших р, и Я. Можно показать, что для больших р, и Я качественная структура будет такая, как на рис. 168, V. (о-сепаратриса седло-йла имеет всюду отрхщательпый наклон. Предельных циклов нет (см. приложение I). На рис. 168 представлены качественные структуры, последовательно переходящие одна в другую при возрастании параметров вдоль рассматриваемой кривой. Сепаратриса седло-узла при этом проходит через пегрубые расположения, представленные па рис. 168. На рис. 168, /-IV (о-сепаратриса седло-узла идет в седло Oi. На рис. 168,/F-F совпадают а- и (о-сепаратрисы седло-узла, образуя замкнутый контур, охватывающий цилиндр. При возникновении петли к пей стягивается устойчивый предельный цикл (так как для седло-узла па куске кривой справа от точки В будет аз4<0 (см. гл. 10)).

3. Проследим за сменой качественных структур и бифуркациями при возрастании р, вдоль прямой, соответствующей некоторому фиксированному значению Я из интервала 1 <Я<УЗ/2 (прямая располагается ниже точки В). Последовательность структур