стоящая в правой части уравнения (14), возрастает и уравненпе (14) пмеет единственный корень.

Приложение Ш. Характер функции xo = g{x) дополняет сведения о поведении кривой о* на плоскости {х, г/о). Именно, из характера функции g(x) следует, что сначала при возрастании х кривая о* пересекает кривые семейства (3) в направлении уменьшения хо (от нижних к верхним) при значении х, соответствующем минимуму функции хо = g{x), кривая о* касается кривой семейства (3), а затем о* начинает пересекать кривые (3) в направлении возрастания хо.

Приложение IV. Форма кривой о на плоскости {ха, г/о) зависит от того, какая из абсцисс экстремумов: г/о = f{x) или хо = g{x) больше, т. е. какая из абсцисс: .максимума функции г/о = /() или точки касания этой кривой с кривыми семейства (3) - больше. Если абсцисса минимума xo = g{x) меньше абсциссы максимума yo = f{x), то на плоскости {хо, г/о) кривая о не имеет самопересечения, в противном случае она пмеет самопересечение.

§ 6. Фазовая автоподстройка частоты. Рассматривается система [43]

= у = Р, = p sincp-2as--, = (? (1) dt dt s" -г у

при положительных а, р и s,

1. Поворот поля. Разность полей направления системы (1) с пара.метрами f>, ао, so и измененной системы с параметрами Р, аь Sl ДЛЯ уФО будет

2 [sqSi (aSo - agSj) + {as - as) у-] [{sl + у") {sl + y")]".

При фиксированном f> монотонный поворот будет осуществляться, если измененные значения параметров ai и si выбирать так, чтобы ВЫПОЛНЯЛОСЬ условие

(aiso - aosi) (ajSj - aoSo)>0.

В частности, монотонный поворот осуществляется при изменении а и S ВДОЛЬ й-кривых {as = k, 0<к<°°) или и-кривых {als = K, 0<и<оо). Семейства к- и и-кривых, каждое в отдельности, покрывают всю рассматриваемую часть плоскости (а, s). Кривые измененной и исходной систем на прямой = 0 пересекаются с касанием по оси ф. При изменении f> поле направлений на нижнем и верхнем полуцилиндрах поворачивается в противоположных направлениях. Прямая = О в этом случае будет контактной кривой.

2. Качественные структуры на концах fe-кривых. Чтобы проследить за изменением качественной структуры фазового пространства при монотонном повороте поля направлений с изменением параметров вдоль А-кривых, нужно знать структуру разбиения фазового пространства на концах й-кривых для малых и для больших S (и соответственно для больших и малых а).

В цилиндрическом фазовом пространстве (на полосе -я < ф < я с отождествленными краями) состояния равновесия

У > У2 = [к + Ук - зЦ + 1)] (р+1)-1.

Так как кривая Р + Qy = - 2к (s - у) {у + sf"" = О не пересекает для малых s верхнюю ветвь изоклины горизонтальных наклонов (для малых s всегда y2>s), то этот цикл единственный.

Для малых S кривая Р + Qy = о яе пересекает также и нижнюю ветвь изоклины горизонтальных наклонов, поэтому предельные циклы вокруг точки 0\ не могут существовать.

Предельные циклы на нижнем полуцилиндре также не могут существовать. Система (1) эквивалентна уравнению

ydy + sin ф йф = - 2as йф.

будут Oi (arcsin 0) - усто11чивы11 фокус или узел, Ог (л - arcsin р, 0) - седло.

Направления по которым траектории системы (1) входят в седло, определяются уравнением

S + S- =0.

Для О р 1 один корень всегда отрицателен и соответствует направлению, по которому ю-сепаратриса входит в седло. Пусть на HOKOTopoii прямо11 ф = фо в интервале (arcsin я -arcsin между особыми точками отмечена координата tio точки пересечения прямой с ю-сепаратрисой седла. Если с убыванием S двигаться в пространстве параметров вдоль /с-кривых, то векторное поле будет монотонно поворачиваться по часовой стрелке и tio будет расти. В то же время на нижней ветви изоклины горизонтальных наклонов на верхнем полуцилиндре (имеющей положительные значения ординаты лишь вне интервала (arcsin я - arcsin ) максимум, равный

при ф = -я/2, будет неограниченно убывать. Поэтому для любого к можно выбрать s так, чтобы неравенство yi < rjo выполнялось, и тогда ю-сепаратриса будет идти в седло, скручиваясь с верхнего полуцилиндра. На верхнем полуцилиндре при р > О бесконечность устойчива. Действительно, если при больших > О положим у = 1/р и построим обычным образом функцию последования в окрестности малого р = ро, получим

Pi (2я) - Ро (0) = - 2яРр + Anaspt -Ь ...

Отсюда следует существование по крайней мере одного неустойчивого предельного цикла, расположенного выше минимума верхней ветви изоклины горизонтальных наклонов, т. е. для

Поэтому ДЛЯ замкнутого контура, охватывающего цилиндр и составленного из траекторий системы (1), имеем

но это невозможно прп < О и положительных f>, а и s.

Качественная картина фазового пространства для достаточно малых S на любой кривой as = k представлена на рпс. 173, i.

Рпс. 173

Проследим за поведеипем а-сепаратрпс седла при больших s. Рассмотрим две консервативные системы сравнешш:

d(p/dt = y, c?j df = f> - sin ф, (2)

d(p/dt = y, dy/dt= - sm(p - kls (3)

(условие О < - k/s < i для любых к прп больших s выполняется) .

Точка Oi(arcsinf>, 0) для системы (2)-состояние равновесия типа центр, и сепаратрисы седла О2 (л - arcsin р, 0) образуют петлю вокруг 0\. Поле направленпп системы (1) повернуто но отношению к системе (2) но часовой стрелке. Поэтому а-се-паратрпса седла системы (1), выходящая на нпжнпй полуцилиндр, пдет в точку Oi.

Траекторпи системы (3) на верхнем полуцилиндре представляют спирали, накручивающиеся на цилиндр и уходящие в бесконечность. Поле направленпй системы (1) на верхнем полуцилиндре повернуто по отношению к системе (3) против часовой стрелки повсюду, за исключением прямой y = s (на прямой i/ = s будет касание с пересечением). Поэтому а-сепаратриса седла системы (1), выходящая на верхний полуцилиндр, не может пересечь а-сепаратрису седла системы (3), выходящую пз седла 0(л - arcsin(p - fc/s), 0), расположенного справа от седла О2 (л - arcsin р, 0), и должна уходить в бесконечность. Предельных циклов нет. Поведение а-сепаратрпс полностью опре-