Если при этом нет другой узловой области (сектора), содержащей рассматриваемую, у которой по крайней мере одна из полутраекторий L\ и l2 является внутренней, то область между полутраекториями L\ и L2 назовем целым открытым узловым сектором или параболической областью (сектором) и будем обозначать через N (рис. 34). Далее, говоря о целых открытых узловых областях (секторах), мы будем опускать слово «целые».

Рис. 34

Рис. 35

Мы будем говорить, что сепаратрисы L\ и l2 являются продолжением одна другой, если они ограничивают один и тот же гиперболический сектор.

Если у данного состояния равновесия существует замкнутая узловая эллиптическая область, то непременно существуют также две содержащиеся внутри с параболические области, «сопровождающие» эту замкнутую область. Эти области непосредственно примыкают к замкнутой узловой области, образованы частями «перерезанных» окружностью траекторий замкнутой узловой области ) (рис.35).

Следующие предложения имеют простой геометрический смысл.

I. Траектории двух различных (т. е. лежащих одна вне другой) эллиптических областей принадлежат различным элементарным ячейкам.

II. Если существует эллиптическая область, примыкающая к состоянию равновесия О, то к нему примыкает по крайней мере еще одна эллиптическая или гиперболическая область.

III. Между двумя различными эллиптическими областями состояния равновесия всегда существует стремящаяся к этому

Границей максимальной замкнутой узловой области, содержащей замкнутую узловую область, лежащую внутри С, является элементарная ячейка, и граница ее, очевидно, состоит из особых траекторий.

состоянию равновесия особая траектория (которая может и не быть сепаратрисой данного состояния равновесия) 2°).

Теорема 18. Всякая достаточно малая окрестность состояния равновесия О системы (А), не являющаяся центром или топологическим узлом, состоит из конечного числа эллиптических (замкнутых узловых), параболических {узловых) и гиперболических {седловых) областей {в частных случаях области некоторых типов могут отсутствовать), примыкающих последовательно

одна к другой, а также из точек траекторий, отделяющих эти области одну от другой и из точки О (рис. 36).

Следствие 1. Все достаточно малые окрестности данного состояния равновесия разделяются на одно и то же число эллиптических, параболических и гиперболических областей.

Следствие 2. В случае, когда у системы (А), определенной в ограниченной области плоскости, имеется конечное число особых траекторий, всякое состояние равновесия этой системы имеет определенную топологическую структуру. Вернемся к определению качественной структуры динамической системы в целом. Как уже было указано, для этого необходимо иметь следующие сведения:

1) характер (топологическую структуру) состояний равновесия динамической системы - это даст, в частности, сведения о числе сепаратрис и их расположении вокруг каждого отдельного состояния равновесия;

2) число и взаимное расположение предельных континуумов, в частности предельных циклов;

3) расположение сепаратрис, не входящих в предельные континуумы.

Перечисленные здесь сведения называются схемой разбиения ва траектории динамической системы, а все указанные сведения - элементами схемы. Схема может быть записана специально введенными символами, описывающими все указанные в перечисленных пунктах сведения, однако на плоскости схему проще и естественнее описать схематическим рисунком, на котором намечены: поведение траекторий в окрестности состояний равно-

2°) Напоминаем, что мы всюду в настоящей главе предполагаем число особых траекторий конечным.

Рис. 36

весия, предельные континуумы с их расположением и ход сепаратрис. Во всех рассмотренных далее примерах схема задается схематическим рисунком (иногда только с точностью до четного числа предельных циклов). Можно показать, что введенная схема полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории и, следовательно, определяет также расположение ячеек и поведение траекторий в каждой ячейке 2).

Установленные в настоягцей главе типы траекторий и, в частности, особых траекторий возможны лишь у динамических систем (потоков) в плоской области и на сфере. При рассмотрении динамических систем (потоков) на замкнутых двумерных поверх-эостях (конечного рода) возможны еш,е другие типы траекторий (незамкнутые самопредельные) (см. дополнение).

§ 12. Устойчивость по Ляпунову. В приведенной теории особых и неособых траекторий (§ 6) и определении схемы было использовано понятие орбитной устойчивости, и именно это понятие имело при этом значение.

Однако классическое понятие устойчивости решения - это введенное Ляпуновым и широко фигурируюш,ее в математической литературе понятие «устойчивости по Ляпунову». Мы приведем здесь это понятие для случая решения двумерных задач динамических систем. (Полностью аналогичное понятие дано Ляпуновым для многомерных динамических систем и для неавтономных дифференциальных уравнений.)

Решение х = Ц)оЦ), г/ = фо(0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е > О найдется такое б > О (б = 6(e)), что для всех решений x = (p(t), г/ = г;(г), для которых выполняются неравенства

I фо (io) - Ф (io) 1 < б, 1 to (io) - If (to) I < б,

при всех t> to будут выполняться неравенства

1фа(0-ф(01<е, lil)o(i)-< е.

Если решение x = <f{t), i/ = if(i) устойчиво по Ляпунову и если при достаточно малом б > О будут выполняться условия Итфо(0-Ф(0 = 0, lim4)o(i)-if(0 = 0,

то решение (foit), i:o(i) называется асимптотически устойчивым.

Сведения о числе и характере состояний равновесия, взаимном расположении предельных континуумов п ходе сепаратрис, с одной стороны, и сведения о взаимном расположении ячеек и поведении траектории внутри них - с другой (и то и другое может быть названо схемой разбиения на траектории), являются двумя различнылш полными системами топологических инвариантов, которые могут быть выражены одна через другую. В связи с этим .можно говорить о схеме первого рода, понимая под этим указанную в тексте схему, и схе.ме второго рода, понимая под этим описание ячеек и их расположение.