ГЛАВА 18

ИССЛЕДОВАНИЕ КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА

§ 1. Уравнение из теории электрических машин. Рассмотрим уравнение [123]

Ф + х[1-ре(Ф)]ф + е(ф) = , я>о, y>o,

где функция в(ф) периодическая с периодом 2я, при кусочно-линейной аппроксимации

е(ф) = е1(ф)-(-1)(2/л)ф + (-1)->2А;,

(2А;-1)я/2<ф<(2А;+1)я/2, А; = ...-1, О, 1, ...

В качестве фазового пространства будем рассматривать полосу, заключенную между прямыми ф = -л и ф = я. Точки этих прямых, имеюп1;пе одинаковые ординаты, отождествляем. Введем малый положительны!! параметр, полагая к = рЯо; j = ро, и перейдем к системе, близкой к кусочпо-линейпой:

dcp/dt = у, dy/dt = 81 (ф) -f ц {Vo - ЯЛ1 - (ф)] у]. (1)

Изучение периодических решений системы (1) позволяет строго установить качественную картину разбиения фазового пространства на траектории для малых Я и y и выяснить, как изменяется эта картина при изменении параметров.

Траектории системы при р, = 0 имеют либо вид замкнутых кривых, охватываюш;пх состояние равновесия (тина центра) в точке ф = 0, г/ = 0, либо замкнутых кривых, сшитых из кусков эллипсов и гипербол, охватываю!цих пространство (цилиндр). Эти две области разделяются сепаратрисами, составленными из кусков прямых и эллипсов, идуш;ими из седла в седло (в точках (-я, 0) (я, 0) система (1) при р, = О имеет простые седла).

При р,¥=0, по сколь угодно малом, замкнутые кривые, охва-тываю!цие состояние равновесия или фазовый цилиндр, превращаются в спирали, и только некоторые из интегральных кривых остаются замкнутыми, т. е. превращаются в предельные циклы. Сепаратрисы, образующие вместе с состояниями равновесия ири 11 = 0 замкнутый контур, для р-тО вообще не будут образовывать такой контур, также превращаясь в спирали, накручиваю-

щиеся на предельный цикл или состояние равновесия пли ухо-дяш;ие в бесконечность. Знание характера и расположения предельных циклов позволяет однозначно определить качественную структуру разбиения фазового пространства на траектории.

Система (1) может иметь как циклы, охватываюш;ие цилиндр, так и циклы, охватываюш;ие состояние равновесия Oi (р"(оя/2, 0). Будем отыскивать циклы, охватываюш;пе цилиндр. Тогда, применяя теорему 1 § 5 гл. 12 и учитывая п. 5 § 4 гл. 17, будем иметь

Л(г/?) = ЛМ[?о-ч(1 + Р

я у J

у d(p + Уо-К{-)у]Л. (2)

Здесь L\ и 2 -части интегральпой кривой системы (1), прп р = 0 проходяш;ей через точку Р(-я,у1), расположенные соответственно в интервалах -яф-я/2 и -я/2ф0. Урав-нен1ш кривых L\ и L2 соответственно будут

(La)

11 2

(Li)

2 я ~

+ 2 •

Интегрирование ведется в направлении движения по траекториям. Если г/о>0, то, вычисляя интеграл в правой части равенства (2), получим

1 (Уо) = 412"Yo - К Vn;2 2 /я/2 /я/2 + 2h +

I 2 "

(/я/2+ /я/2 + 2)

{2h + я) arcsin

"I/2 + п

h = Wf2. Для выяснения числа корней уравнения

l5l(/l) = 0

находим

гр; (/о = Я„ /-=- [(l + 4 р) 1п ( + + 2/.) +

+ 2(1- - р) arcsin,

fc->0

/l-»oo

Исследуя поведение функции ifii (h) в интервале О < й. < °°, заключаем, что при 0<h< оо функция (h) монотонно убывает, еслп р > -л/2, и имеет один максимум, еслп р < -л/2. Отсюда легко видеть, что при

4о + ЯоУл/2(р-2-л/2)>0

уравнение (3) имеет один положительны!! корень. Система (1) пмеет устойчивы!"! предельный цикл, охвать!ваю!ций цилиндр, в верхнем фазовом полуиространстве.

В области пространства параметров Яо, Yo и Р, определяемой соотношениями

4о + ЯоГя/2(р-2-л/2)<0,

уравнение (3) имеет два иоложительных корня. Система (1) ири этом имеет два предельных цикла в верхнем фазовом полупространстве. При этом большему корню уравнения (3) соответствует устойчивый, а меньшему - неустойчивый предельный цикл.

Отыскиваем далее предельные циклы, охватываю!цие цилиндр и расположенные в нижнем фазовом полупространстве

{у1<о).

Интегрируя выражение (2) и полагая {уоУ/2 = h, будем иметь

(у1) = 41- 2яТо -KVUV + 2/. -f

\2h\

-f (1--p1 (2/1 -f л) arcsin -

Аналогично предыдугцему можно показать, что при Yo > О, Яа>0 система (I) не может иметь более одного предельного цикла, охвать!ваю1цего цилиндр в нижнем фазовом полуиространстве. Если

Иш г1)2№)=-2луо + Яо--У-(р-2--)>0,

то система (1) в нижнем фазовом полуиространстве имеет устойчивый предельный цикл, охватываюгций фазовый цилиндр.

lim (h) = 2луо + Яо A-Д. (р 2 - lim .(/г) = - оо .