которое мы получим из предыдущего, если поделим его на a;*" и введем обозначение

к = у1х.

Мы будем также рассматривать выражение

cos 9 Qm (cos 0, sin 0) - sin 0 Рт (cos 0, sin 0). Имеет место

Теорема 1. Всякая полутраектория системы dx/dt = Рт{х, у)+ц1{х, у), dy/dt = Qm{x, у)+{х, у)

{Рт и Qm не равны тождественно нулю), стремящаяся к состоянию равновесия 0(0, 0), либо является спиралью, стремящейся к О при i+00 {или t->--оо), либо стремится к О в определенном направлении 6*. При этом:

I. Если хоть одна из траекторий системы является спиралью, стремящейся к О при t -* +оо (или t -> -оо), то все траектории, проходящие через точки некоторой окрестности состояния равновесия О, являются такими же спиралями (т. е. точка есть устойчивый или неустойчивый «фокус высшей сложности»).

П. Если выражение (2) не обращается тождественно в нуль, то наклоны к, с которыми траектории стремятся к состоянию равновесия О, удовлетворяют уравнению

Qm{i, к*)-k*Pm{i, к*)=0, (3)

или, иначе, направления 0*, с которыми траектории стремятся к О, удовлетворяют уравнению

cos е* Qm{cos е*, sin 0*) - sin 0* Pm{cos е*, sin 0*) = 0. (4) HI. Если

xQm{X, у)-уРт{Х, у)0

и, следовательно,

Рш{х, y) = xQm-\{x, у), Qm{x, y)=yQm-i{x, у),

где Qm-i{x, )-некоторый не равный нулю тождественно однородный многочлен степени т - i, то, какое бы направление 6, не удовлетворяющее уравнению

(?™-i(cos0*, sin0*) = O, (5)

мы ни взяли, существует в точности одна полутраектория, стремящаяся к О в направлении 0. Для особого же направления 0*, удовлетворяющего (5), может оказаться, что не существует ни одной полутраектории, стремящейся к О в этом направлении 0*, либо есть конечное число таких траекторий, либо, наконец, таких траекторий может существовать бесчисленное множество.

Замечание. Если существует траектории, стремящаяся к состоянию равновесия О с определенным наклоном к*, то этот

наклон, согласно сформулированной теореме 1, является действительным корнем уравнения Qm{i, к)-кРт{1, к)=0. Однако если это уравнение имеет действительные корни, то это еще не означает, что существуют траектории, стремящиеся к О с этим наклоном: возможны случаи, когда при этом все траектории являются спиралями или замкнутыми траекториями.

§ 2. Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми характеристическими корнями 2). В настоящем параграфе мы приведем результаты исследования одного простейшего типа сложных особых точек.

Рассмотрим систему

dx/dt = Pix, у), dyldt==Q{x,y),

где Р{х, у) и Q{x, у) - аналитические функции, не имеющие общего множителя, отличного от постоянного.

Пусть начало координат является сложным состоянием равновесия этой системы, т. е. мы имеем

р(0, 0) = 0, (3(0, 0)= о,

р;(о,о) ру (0,0) (?;(о,о) ;(о,о)

и, следовательно, хотя бы один из характеристических корней этого состояния равновесия равен нулю. Мы будем рассматривать здесь такие сложные состояния равновесия, когда в разложениях по степеням х ж у функций Р{х, у) и Q{x, у) хотя бы один из линейных членов не равен нулю, т. е. когда

1«(о,о)1 + 1р;(о,о)1-ь(з;(о, о)1-ь(з; (0,0)1=0.

Рассмотрим наряду с величиной А (о, 0) величину а = PU0,0) +Qy (0,0).

Среди состояний равновесия, для которых выполняется условие (6), естественным образом выделяются два случая в зависимости от того, что имеет место: о (о, 0)=? о или о (о, 0)=0. Так как характеристическое уравнение имеет вид

Я2 - оЯ -Ь А = о,

2) Качественный характер таких состояний равновесия был рассмотрен методом Бендиксона (см. [J143, 60, 70]) и методом Фроммера (см. [1, 132, 133]). Мы приводим здесь величины, определяющие характер этих состояний равновесия, однако способом, указанным в работе [70] (см. также монографии [12, 13]), так как этот способ их введения значительно более естествен при рассмотрении бифуркаций этих состояний равновесия в гл. 10.

3) Такая функция всегда существует, так как для уравнения by -f (0*(х, ) = О выполняются условия существования неявной функции. Действительно, при х = О, = О будет

by + Q* {X, у)0, -щ- (by + Q* {х,у)) ЪфО.

*) Кроме того, Дт является ляпуповскоп величиной, соответствующей одному, равному пулю характеристическому корню (см. гл. 6).

то, очевидно, в случае, когда аФО, только один характеристический корень равен нулю, второй же равен о. В случае, когда 0 = 0, оба характеристических корня равны нулю.

I. А (О, 0)=0, о (О, 0)=50. В зтом случае существует неособое линейное преобразование (см. § 2 гл. 3), с помощью которого система в окрестности начала 0(0, 0) может быть представлена в следующем каноническом виде:

dx/dt = Р*{X, у), dy/dt = by + Q*{x,y), (7)

где Ъ ¥= О, а. разложения по степеням х, у функций Р*{х, у) и Q*{x, у) начинаются с членов не менее чем второго порядка. Введем в рассмотрение функцию

У = {х),

являющуюся решением уравнения )

by + Q*{x, у)0.

Подставим функцию у = ц){х) в Р*{х, у) и введем обозначение

р{х) = РЦх,{х)).

Так как мы предположили, что функции Р{х, у) и Q{x, у) не имеют общего множителя, отличного от постоянного, то Р*{х, (р{х)) не может быть тождественно равна нулю и, следовательно, в разложении функции гз(а;) по степеням х заведомо бздут отличные от нуля члены.

Таким образом, мы можем написать

{х) = Р*{х, с(,{х))=АтХ +

где т>2 (так как разложение Р*{х, у) по степеням х и. у начинается с членов не ниже второй степени и АФО). Число т, очевидно, характеризует кратность общей точки*) кривых

Р*{х,у)=0 и by+Q*{x,y)=0.

Теорема 2. Состояние равновесия 0(0, 0), для которого А (О, 0)=0 и о (О, 0)т0, может иметь следующий качественный характер:

а) характер седла {при т нечетном и Am > 0);