*) Здесь, очевидно, речь идет об особых точках к р и в о й, а не динамической системы. В рассматриваемом случае, когда Р{х, у) и Q{x, у) - аналитические функции, у этой кривой не может быть и точек прекращения (у аналитических кривых таких точек быть не может).

составленных из траекторий. Заметим, что если а = О, то имеется целая область плоскости (х, у), целиком заполненная замкнутыми траекториями. Система допускает в этом случав интеграл

яу (аюЬоох + boiaooy + аообоо) = const. Пример 4.

dx/dt = x(y - a), dy/dt = x + у + {у.

В качестве множителя В берем функцию В{х, у) = х--. Тогда D = (2a"f + Если 2ai + ¥=0, то не может быть пре-

дельных циклов, расположенных в полуплоскостях х>0 или х<0 (ось х = 0 является траекторией). В случае 2ау+Р = 0 существует область, заполненная замкнутыми траекториями, и В{х, y) - x~~ служит интегрирующим множителем.

1. Некоторые видоизменения критериев Бендиксона и Дюлака. Нетрудно видеть, что критерий Бендиксона и критерии Дюлака являются очень частными критериями: их выполнение возможно лишь для динамических систем с очень частными свойствами. Действительно, при неравенстве нулю выражения Рх {х, у) + Qy (х, у) в некоторой области G, в этой области не может быть не только замкнутых траекторий, но вообще никаких замкнутых контуров из траекторий (не только из сепаратрис), не может также быть двух узлов, из которых один устойчивый, а другой неустойчивый.

В самом деле, в устойчивом узле 0{xi, у[) мы должны иметь

Px(i,J/i) + <?y(i,i/i)<0,

а в неустойчивом узле 0{х2, у) соответственно

Px{x,yi) + Qy{x,y2)>0.

А тогда на всякой кривой, соединяющей точки 0{ и Оз, очевидно, должна лежать по крайней мере одна точка, в которой Рх {х, у) + Qy (х, у) обращается в нуль.

Следующее небольшое видоизменение критериев Бендиксона и Дюлака может оказаться полезным при рассмотрении конкретных систем.

Пусть для системы (А) кривая

Px{x,y) + Qy{x,y) = 0

является в некоторой области G незамкнутой кривой без особых точек*) (т. е. линией), в обе стороны выходящей из G или ухо-

дящей в бесконечность, если G - неограниченная область, не имеющей контактов с траекториями системы (А). Тогда у системы (А) в области G не может быть замкнутых траекторий.

Действительно, нетрудно видеть (проводя рассуждение, аналогичное проведенному выше), что если бы у системы (А) существовала лежащая в G замкнутая траектория, то она непременно должна была бы пересекать линию Рх{х, у) + Qy {х, у) = О и при этом, очевидно, не менее чем в двух точках и, во всяком случае, по крайней мере в двух точках в противоположных направлениях, что, очевидно, невозможно, так как по предположению линия Рх + Qy = 0 является линией без контакта.

Совершенно аналогично можно сформулировать следующее видоизменение критерия Дюлака.

Пусть В{х, у)-некоторая однозначная аналитическая в области G функция, и пусть линия

и кх. У)--Yx + Vy

является в области G незамкнутой линией без особых точек, не имеющей контактов с траекториями системы (А). Тогда у системы (А) не может быть замкнутых траекторий, целиком лежащих в области G.

2. Индексы Пуанкаре. Распределение особых точек [77, 117]. Пусть S - простая замкнутая кривая на фазовой плоскости, не проходящая через состояние равновесия, ш М - какая-нибудь

Рис. 76

точка на ней. Если точка М обходит один раз кривую S в положительном направлении, то вектор, совпадающий с направлением касательной к траектории, проходящей через точку М, поворачивается на угол 2л) (/ = 0, ±1, ±2, ...). Целое число / называется индексом замкнутой кривой S по отношению к векторно-

му нолю системы. На рис. 76, 77 представлены некоторые простейшие случаи, на которых представлена кривая S, и можно проследить, как поворачивается соответствуюш;ий вектор. Для / мы имеем выражение

PdQ - QdP P + Q •

3. Условия сосуществования замкнутых траекторий и особых точек.

1. Внутри замкнутой траектории находится ио крайней мере одна особая точка.

2. Сумма индексов особых точек, расположенных внутри замкнутой траектории, равна +1.

Рис. 77

3. Если внутри замкнутой траектории все точки простые, то число их нечетное, причем число седел на единицу меньше числа остальных особых точек.

4. Две общие теоремы Пуанкаре.

1. Если N, Nf и С - соответственно числа узлов, фокусов и седел в конечной части фазовой плоскости, а N и С - числа узлов и седел, лежащих на экваторе (считая точки, расположенные на концах одного диаметра, за одну точку), то имеет место соотношение

iV + iV, + iV = C + C + l.

2. Если все точки простые, то вдоль изоклины без кратных точек, расположенной в пределах одной полусферы, особые точки располагаются так, что вслед за седлом будет фокус или узел и наоборот. Если на изоклине две точки разделены экватором, то за седлом следует опять седло, а за узлом или фокусом - узел или фокус.