Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [ 81 ] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

Т. е. контакт ложный - траектории системы (1) при КФО образуют с траекториями консервативной системы угол одного знака.

Заметим, что для двух различных значений параметра К: ki и Яг, траектории системы с Я = Я] пересекают повсюду траектории системы с Я = Яг.

Направление поворота векторного поля определяется знаком я1 - Яг, что следует из рассмотрения контактной кривой системы с Я == я1 и системы с Я = Яг:

{dyldx)x=% - {dy/dx)f-x = Я1 - Я.

Кроме того, как мы видели, при фиксированном значении параметра р при всех Я =5 О начало координат - фокус или узел, точка 0)- седло, и положение п характер состояний равновесия на экваторе не меняются.

Разбиение сферы Пуанкаре на траектории при значениях параметра р<0, р = 0 и р = 1 сохраняет свою качественную структуру при любых значениях Я > 0.

В случаях 0<р<1 и р>1 качественная картина разбиения сферы Пуанкаре на траектории зависит от величины параметра Я (см. подстрочное примечание на с. 126).

Рассмотрим случай 0<р<1. При Я = 0 имеет место рис.82 гл. 6.

При Я > О поведение сепаратрис седла S, попадающих внутрь областей ASM, MSN, NSB, ограниченных сепаратрисами консервативной системы и дугами экватора (эти области не содержат особых точек, лежащих в конечной части плоскости), в силу поворота поля определяется однозначно (см. рис. 87 гл. 6). Поведение уса седла, попадающего в область G, ограниченную сепаратрисами SA и SB консервативной системы и дугой экватора и содержащую внутри себя особую точку, не определяется однозначно и зависит от параметра Я.

Есть три возможности для поведения этого уса седла:

а) идет в узел (В) на экваторе;

б) идет в сложную особую точку Q (седло-узел) на экваторе;

в) идет в особую точку К (фокус или узел) внутри области G.

Вторая возможность имеет место при значении параметра Яо=(1-[г)/П1.

В этом случае существует интегральная прямая, идущая из седла в особую точку Q (седло-узел) на экваторе. Уравнение интегральной прямой будет

у = 1ц{х- 1/р),

что непосредственно проверяется. Качественная структура разбиения сферы Пуанкаре на траектории определяется теперь од-



нозначно и изображена на рис. 124. Значение параметра К = Ко, очевидно, бифуркационное. При КЖо качественная картина будет иметь вид такой же, как на рис. 88 гл. 6, а при К < Ко будет иметь место рис.87 гл. 6. Во всех случаях структура определяется однозначно.

Рассмотрим случай р->1. При К = 0 имеем качественную картину, изображенную на рис. 84 гл. 6. При К> О однозначно определяется поведение смещенных сепаратрис, попадающих в

Csm узел

Седло-узел


Сейло

Csdno узел

Устойчивый Фанус \ эзеп (узел)

Рис. 124

Седло-узе/1


Седло-

УстоичиЗыи фонде

Рис. 125

области I-III (область / ограничена сепаратрисами SM и SN консервативной системы и близлежащей дугой экватора, область заполнена замкнутыми кривыми, область / ограничена сепаратрисами SN и ST консервативной системы, отрезком RT оси X и дугой PQN, включающей дугу экватора). Они ведут себя так же, как при малых значениях К.

Поведение сепаратрисы, входящей в область IV (симметричную области / относительно оси х), не определяется однозначно и зависит от величины К (аналогично случаю О < р, < 1 здесь имеется три возможности).

1) При Ко = {ц- 1)/ Ун существует интегральная прямая

у = -Уц{х- 1/р,),

идущая из седла S в седло-узел Р на экваторе сферы Пуанкаре-качественная картина изображена на рис. 125; Яд = (р,- -1)/Vp, - бифуркационное значение.

2) При А, > Яо и Я < Яд поведение сепаратрисы определяется однозначно, и соответственно имеем качественные картины, изображенные на рис. 88, 89 гл. 6.

На рис. 126 представлено разбиение пространства параметров Я, Ц. Точкам на осях Я и р,, а также на кривой р-Я - (р, - 1) = О соответствуют бифуркационные структуры.



3) При Я, = 0 на фазовой плоскости {х, у) существуют области, заполненные замкнутыми кривыми, при цК - {ц - 1) = 0 существуют сепаратрисы, идущие из седла в седло (интегральные прямые), и при р = О - сложная особая точка высокого порядка, распадающаяся при изменении параметра р.

Пример 2 [30].

dx/dt = ах+ by - х{х + у), dy/dt cx + dy - y{x + у).

Особые точки фазовой плоскости удовлетворяют системе уравнений

ах + Ьу-х{х + у)=0,


Рис. 126

сх + dy - у (х + у) = 0.

Умножая первое из этих уравнений на у, второе на а; и вычитая, получим следующее уравнение, которому должны удовлетворять координаты особых точек:

аху + by - сх - dxy - 0.

Полагая у = кх, мы получаем уравнение для к

bk + (a-d)k-c = 0. Корни этого уравнения действительны в случае, когда

D={a-d) + Abc>0.

Обозначаем их через ki и /сг и, подставляя в одно из уравнений (3), получаем в этом случае пять состояний равновесия:

х = 0, у = 0; x=±f-

Ьк,

у = ±к,

1 + 1

+ Ък

Состояние равновесия а; = О, г/ = О, очевидно, простое, если А = ad-ЪсФО). Нетрудно также видеть, что в случае Д > О остальные состояния равновесия тоже простые. Отметим, кроме того, что при D > О прямые у = kiX {i = 1, 2) являются интегральными прямыми рассматриваемого дифференциального уравнения, так как соотношение

cx + dy - y {х + у)

ах-\-Ъу - X {х + у)




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [ 81 ] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0244