Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [ 125 ] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

Ф{щ v) = Fl.{0, 0){v-u)

Следовательно, для второй ветви кривой Ф{и, v), проходящей через начало координат, 1; = ф,(и) (это и дает нам искомую функцию соответствия):

ф;(0) = 1.

Таким образом, из двух неявных уравнений (15) и (16) мы получаем две функции соответствия

v = (pi{u), У = ф2(м). Будем рассматривать также функцию

Z(li)= ф1(и)- ф2(и).

Очевидно, что отличным от и = О нулям этой функции соответствуют предельные циклы сшитой системы.

Перечислим некоторые свойства функций ф.(м) и функции z{u).

1) Последовательные производные от функций ф,(и) при и = О, очевидно, находятся следующим образом. В разложение функции

Ф{и, v) = Fi{0,-v)-Fi{0, и) =

= 4 Ку- ) - + Ж [- 1 ) - 0)+ .

подставляем разложение для функции ф, (и) ио степеням и: ф{ {и) = U + «2 -Ь аи -Ь ...

всегда, очевидно, имеют решение

V = -и,

которое является «паразитным». Однако кроме этого решения, это неявное уравнение имеет еще одно решение. Действительно, кривая

Фг{щ v) = F,{0, -i;)-F.(0, и)

в силу условия Fiy(0, 0) = 0, очевидно, имеет в точке 0(0, 0) особую точку (речь идет об особой точке кривой, а не динамической системы):

Ф;„ (О, 0) = ф;, (О, 0) - F[y (О, 0) = 0.

Эта особая точка есть узел кривой, так как в окрестности точкп 0(0, 0), принимая во внимание условия (14), мы можем записать



ф1Чо) = с.1 =

о fH (О, 0) „ (О, 0) , ,

iv iy

Можно показать, что при и = О производные нечетного порядка от функций ц>г{и) выражаются через производные предшествую-ш;их порядков, и поэтому первая не равная нулю производная - четного порядка.

2) Функция z{u) в точке и = 0 имеет нуль четной кратности. При рассмотрении функций соответствия vi=(fi{u) и V2 = ((>2{u) и функции z(u) по смыслу этих функций мы можем ограничиться рассмотрением только значений и>0. Если же рассматривать как и>0, так и и<0, то можно сформулировать еще следующее свойство функции z{u).

3) Функция z{u) всегда имеет одинаковое число корней, меньших нуля и больших нуля. Очевидно, каждой сшитой замкнутой траектории в окрестности сшитого фокуса соответствуют два корня: один - больший нуля, другой - меньший нуля.

Разложение функции z{u) по степеням и имеет вид

Z(U) = ?,2,U"+...

Знак коэффициента рд» вместе со знаком величины Qi{0,0) определяет устойчивость или неустойчивость сшитого фокуса именно:

а) если p2ft и Qi (О, 0) имеют разные знаки, то сшитый фокус устойчив;

б) если p2fe и Qi{0,0) имеют одинаковые знаки, то сшитый фокус неустойчив. В случае, когда р20, сшитый фокус аналогичен грубому;

в) коэффициенты р2л при А;>1 играют роль ляпуновских величин: если первый не равный нулю коэффициент есть 2k, то мы будем говорить: сшитый фокус является сложным к-кратным.

Предположим теперь, что правые части динамических систем (8) и (9) зависят от параметров д,1, ..., д,„, и при всех рассматриваемых значениях этих параметров линией сшивания остается х = 0. Предположим, что при значениях параметров pj, .. ., [х" сшитый фокус является А;-кратным. Тогда справед-.чивы также утверждения, полностью аналогичные утверждени-

) Отметим, что величина tk может быть выражена через производные от функций Pi{x, у) и Qi{x, у) в точке (О, 0).

В результате несложных вычислений получим



ям, касающимся фокуса аналитической системы, а также сшитых «истинных» фокусов, рассмотренных в § 4.

Пусть при lii = л? сшитый квазифокус О является А;-крат-ным. Тогда при всех близких к л? значениях р нз квазифокуса может родиться не более к сшитых предельных циклов, и при надлежащем характере зависимости коэффициентов (г к) от параметров р, может родиться к предельных циклов.

Рассмотрим простейший сложный квазифокус, именно такой, для которого

Из такого квазифокуса при изменении параметров р может появиться один и только один сшитый предельный цикл, и притом той же устойчивости, что и фокус. Предположим, в частности, что в правые части входит только один параметр д,. Нетрудно рассмотреть разные случаи, которые при этом могут представиться, и указать возможную смену качественных структур (см. гл. 11) полностью аналогично тому, как это было сделано для случая аналитических систем, именно: пусть

(?i(0,0)>o, Р2Ы = о. hM>o, р;ы>0;

тогда при возрастании р к устойчивому сложному квазифокусу стягивается неустойчивый предельный цикл, п квазифокус делается простым неустойчивым (опасная граница области устойчивости). Пусть

(?i(0,0)>0, Р2Ы = о. P4W<0. Р2Ы>0-

Тогда при возрастании р из устойчивого сложного квазифокуса рождается устойчивый предельный цикл п квазифокус делается простым неустойчивым (безопасная граница области устойчивости). Отметим, кроме того, что величины 2(0) и 4(1X0), Рг (о)1 могут быть выражены через значения Р,(х, у, р), (2. (х, у, р) и их производных при ж = г/ = О, р = ро-

3. Сложный предельный цикл (сшитый) и рождение из него предельного цикла (сшитого). Пусть рассматриваемая сшитая система имеет сшитый предельный цикл. Рассмотрим простейший случай, когда дуги траекторий частичных систем, из которых сшит предельный цикл, пересекают линии сшивания на участках, являющихся дугами без контакта для траекторий частичных систем, и через линию сшивания продолжаются по непрерывности (пример такого сшивания предельного цикла представлен на рис. 212,в).

В этом случае, очевидно, в окрестности предельного цикла на одной из линий сшивания (безразлично какой), часть которой в окрестности точки пересечения со сшитым циклом являет-




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [ 125 ] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0154