ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию.......... 8

Предисловие к первому изданию........... 9

Часть I

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА с АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Глава 1. Общие сведения о динамической системе на плоскости. Основные теоремы.............. И

§ 1. Автономная динамическая система па плоскости . . И

§ 2. Теорема существования и единственности решения . . 12 § 3. Простейшие свойства решений системы (А) .... 13 § 4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой

плоскости (х, у)............15

§ 5. Сопоставление геометрической интерпретации системы (А) в пространство (х, у, t) с интерпретацией на фазовой плоскости................17

§ 6. Некоторые термины............18

§ 7. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных

условий...............19

§ 8. Направление на траекториях. Изменение параметризации 19 § 9. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе..............22

§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае аналитических правых частей Р{х, у) и Q{x, у) системы (А) . 23 § 11. Что значит «найти решение динамической системы»? . . 25

I 12. Примеры..............26

§ 13. Замечания по поводу примеров § 12.......35

§ 14. Математическое определение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории и качественного исследования динамической системы........37

Глава 2. Возможный характер отдельной траектории. Теория Пуанкаре - Бендиксона. Особые траектории........ 40

Введение................ 40

§ 1. Дуга без контакта............ 40

§ 2. Цикл без контакта............ 42

§ 3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная

траектория.............. 43

§ 4. Основная теорема............ 46

§ 5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств ................ 48

§ 6. Особые и неоеобые полутраектории и траектории ... 50

§ 7. Возможные тппы особых и неособых траекторий ... 52

§ 8. Случай конечного числа особых траекторий. Элементарные

ячейки...............53

§ 9. Возможные типы ячеек. Односвязные и двусвязные

ячейки...............55

§ 10. Два подхода к описанию качественной структуры ... 56

§11. Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы...........57

§ 12. Устойчивость по Ляпунову..... ... 63

Глава 3. Исследование качественной структуры окрестности состояния равновеепя (особой точки).........65

Введение................65

§ 1. Простые состояния равновесия (особые точки) .... 65 § 2. Приведение динамической системы к каноническому виду . 66 § 3. Возможный характер простых состояний равновесия. Грубые

состояния равновесия............68

§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состояний равновесия.............69

§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическп-

ми корнями..............70

§ 6. Направления, в которых траектории стремятся к простым состояниям равновесия...........75

§ 7. Угловой коэффициент направления, в котором траекторпя

может стремиться к простому состоянию равновесия . . 77 § 8. Сводка сведений о грубых состояниях равновесия ... 80

Глава 4. Качественная структура окрестностей некоторых сложных

состояний равновесия.............84

§ 1. Направления, в которых траектории стремятся к сложному

состоянию равновесия........... 84

§ 2. Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми

характеристнческпмп корнями......... 86

§ 3. Примеры . . ............ 91

§ 4. Нормальные формы............ 94

Глава 5. Функция последования. Простые и сложные предельные

циклы.................95

§ 1. Функция последования...........95

§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точкп

точечного отображеппя...........97

§ 3. Функция соответствия...........98

§ 4. Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые и

сложные предельные циклы.........99

§ 5. Аналитические выражения для коэффициентов функции последования. Характеристический показатель замкнутой траектории ...............103

Глава 6. Некоторые приемы качественного исследования . . 106

§ 1. Некоторые признаки существования и отсутствия предельных

циклов................106

§ 2. Изучение поведения интегральных кривых в бесконечности.

Сфера Пуанкаре.............107

§ 3. Примеры исследования в бесконечности......109

§ 4. Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов ................ИЗ

§ 5. Топографическая система Пуанкаре. Функция Ляпунова.

Кривые контактов.............118

Часть II

ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ

Глава 7. Двумерные консервативные системы. Неконсервативные

динамические системы теории колебаний. Общие теоремы . 128

Введение................128

§ 1. Свойства консервативных систем на плоскости . . . . 128 § 2. Динамические системы, характерные для теорип колебаний 13Э § 3. Измененные системы. Системы, правые части которых зависят от параметра.............131

§ 4. Основные теоремы о зависимости решения от изменения правых частей динамической системы........133

§ 5. Грубость динамической системы и теорема о непрерывной

зависимости решения от изменения правых частей . . . 136

Глава 8. Грубые динамические системы........ 138

§ 1. Определение грубой динамической системы..... 138

§ 2. Состояния равновесия, возможные в грубой динамической

системе . . . ,........... 141

§ 3. Состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями.............. 142

§ 4. Замкнутые траектории, возможные в грубой спстеме . . 143

§ 5. Поведение сепаратрис седел в грубых системах . . . 145 § 6. Необходимые условия грубости. Достаточность этих условий

для грубости системы............ 145

§ 7. Пространство динамических систем. Всюду плотность грубых (двумерных) динамических систем...... 147

§ 8. Понятие грубости при более общих предположениях относительно правых частей динамической системы .... 148 § 9. Типы особых траекторий и ячеек в грубых системах . . 151 § 10. Замечания по поводу определения грубой системы . . „ 153

Глава 9. Простейшие негрубые динамические системы - системы

первой степени негрубости...........155

§ 1. Общие замечания............155

§ 2. Системы первой степени негрубости.......155

§ 3. Состояния равновесия, возможные в системе первой степени

негрубости..............157

§ 4. Замкнутые траектории, возможные в системе первой степени негрубости.............158

§ 5. Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой степени негрубости ........... 158

§ 6. Необходимые и достаточные условия первой степени негрубости ................159

§ 7. Динамические системы более высокой степени негрубости 160

Глава 10. Бифуркации при изменении правых частей динамической

системы................ 163

§ 1. Определение бифуркации.......... 163

§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубости .... 164 § 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек . . 171 § 4. Бифуркации двукратной точки, для которой Д = 0иа = 0 174 § 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени негрубости выше первой......... 178

Глава И. Динамические системы, правые части которых содержат

параметры................180

§ 1. Возможный характер зависимости правых частей динамической системы от параметров..... . . . . 180