ГЛАВА 6

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

§ 1. Некоторые признаки существования и отсутствия предельных циклов, в настоящей главе мы приводим некоторые классические приемы качественного исследования системы

£=Р{х,у\, yQ{x,y). (А)

Если удается исследовать состояния равновесия (что далеко не всегда является элементарной задачей, как мы увидим на ряде примеров), то далее для полного качественного исследования необходимо установить наличие или отсутствие предельных циклов и расположение сепаратрис. Как уже отмечалось, зта задача принципиально более сложная, чем установление характера состояний равновесия.

Мы приведем в настоящей главе приемы, позволяющие в некоторых частных случаях давать ответ на вопрос о существовании или отсутствии замкнутых траекторий (предельных циклов).

Напомним, что гладким циклом однократного пересечения называется простая гладкая замкнутая кривая С, обладающая следующими свойствами (см. § 2 гл. 2):

1) на кривой С не лежит ни одного состояния равновесия;

2) во всех точках кривой С, кроме, быть может, конечного числа, траектории не имеют с ней касания и либо все входят внутрь области, ограниченной кривой С, либо все выходят из этой области.

Приведем иростейшие признаки существования предельных циклов, основанные на рассмотрении циклов однократного пересечения.

Теорема 1. Пусть С - цикл однократного пересечения, а G - ограниченная им область, принадлежащая области определения системы (А). Если выполняются следующие условия: 1) все траектории, пересекающие С, при возрастании t входят в G; 2) в области G имеется единственное состояние равновесия О, являющееся неустойчивым узлом или фокусом; 3) в области G имеется лишь конечное число замкнутых траекторий системы, тогда число расположенных в G устойчивых предельных циклов системы на единицу больше числа неустойчивых. (Следовательно, существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл.)

Приведем еще аналогичную теорему для кольцевой области.

Теорема 2. Пусть G - двусвязная область, ограниченная двумя циклами без контакта {циклами однократного пересечения) Cl и Сг, не содержащая состояний равновесия и имеющая конечное число замкнутых траекторий. Если все траектории, пересекающие Ci и Сг, при возрастании t входят в G {выходят из G), то число устойчивых предельных циклов, расположенных в G, на единицу больше {меньше) числа неустойчивых предельных циклов.

§ 2. Изучение поведения интегральных кривых в бесконечности. Сфера Пуанкаре. Во многих случаях черезвычайио полезными для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, т. е., так сказать, исследование «бесконечно удаленных» частей плоскости. В случае, когда правые части динамической системы - многочлены, для этого используется отображение фазовой плоскости иа так называемую «сферу Пуанкаре», т. е. на сферу радиуса единица, касающуюся плоскости {х, у) в начале координат. Каждой точке {х, у) плоскости ставятся в соответствие две точки сферы, лежащие на прямой,

Рис. 69

Рис. 70

проходящей через центр сферы и эту точку илоскости. На экватор (большой круг, параллельный плоскости {х, у)) отображаются бесконечно удаленные точки илоскости (рис. 69).

Интегральные кривые илоскости перейдут при этом в соответственные кривые сферы, причем седла, узлы и фокусы сохраняют тот же вид.

Однако на сфере появятся новые особые точки, лежащие иа экваторе. Часто это будут особые точки высших порядков. Ортогональная проекция нижнего полушария на плоскость, касательную к сфере, дает удобное окончательное отображение всей плоскости {х, у) иа внутренность круга.

или к уравнению

Q (1/г, ulz)

Р (1/г, u/z) - "

Если привести правые части в системе (1) к общему знаменателю, то мы, очевидно, получим систему (п - наибольшая степень многочленов Р{х, у) и Q{x, у))

dz Р* (г, и) du Q* (г, и) „

dt- ,п dt - •

Вводя новый параметр

df/z" = dx,

мы можем представить систему (2) в виде

dzfdx = P*{z,u), du/dx = Q* (z, и)

(P*{z, и) и Q*(z, и), очевидно,- многочлены) или в виде одного уравнения

du Q* (г, и) dz ~ Р* (г, и)

Особые точки (на экваторе) находятся из уравнений

Р*(0, и)=0, <?*(0, и)=0, (3)

или (что то же) из уравнений

Пусть у системы (А) правые части Р{х, у) и Q{z, у) - многочлены по X и у.

Преобразование a; = l/z, y = ulz позволяет изучить особые точки, лежащие на экваторе сферы Пуанкаре, за исключением тех точек, которые соответствуют «концам» оси у. Можно построить плоскость, на которой z и и будут служить прямоугольными декартовыми координатами: это будет касательная плоскость к сфере, перпендикулярная плоскости (х, у). Ось и будет прямой, лежащей в плоскости экватора (параллельно оси у). Можно провести две такие плоскости. Направления осей z и и бзщут зависеть от расположения касательной плоскости (рис. 70)\

Для исследования концов оси у нужно положить х == vfz, у = = 1/z. В этом случае плоскость (z,, т) будет располагаться параллельно оси X.

Преобразование

X = 1/z, у = u/z приводит систему (А) к системе