Множество точек плоскости называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения. Замкнутое, ограниченное (т. е. целиком лежащее в ограниченной части плоскости) множество называется связным, если оно не может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств без общих точек. Заметим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьщее из расстояний между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит одному множеству, а другая - другому, отлично от нуля.

Рассмотрим множество Я в с е х предельных точек полутраектории целиком лежащей в ограниченной части плоскости: множество ее предельных точек, очевидно, также лежит в ограниченной части плоскости.

Теорема 2. Множество всех предельных точек полутраектории замкнуто, связно и состоит из целых траекторий.

Справедливость первых двух утверждений теоремы доказывается непосредственно, справедливость последнего утверждения следует из теоремы о предельной траектории.

Если К есть со- (а-) предельное множество траектории L, то говорят также, что L стремится к К при t + °о (i - <»).

Понятие предельной точки и теоремы 1 и 2 имеют место не только в случае динамической системы на плоскости, но и в случае динамической системы на фазовой поверхности любого жанра, а также в случае динамических систем в фазовом пространстве п измерений ири ге 2 (т. е. для системы п автономных дифференциальных уравнений первого порядка при п>2). ь

(Предложения следующих параграфов справедливы только для динамических систем на плоскости и на сфере.)

§ 4. Основная теорема. Приведем сначала следующие основные вспомогательные предложения, касающиеся иересечения траектории с дугой без контакта.

I. Точки пересечения незамкнутой траектории L с дугой без контакта, соседние но значениям t, являются также соседними и на дуге I. Действительно, предположим, что точки пересечения М\ и М2 траектории L с дугой без контакта I соответствуют значениям t\, h и что ири значениях t между t\ и t2 Y траектории L нет больше общих точек с дугой I. Для определенности предположим, что t\ > tz. Тогда, очевидно, возможен один из случаев, представленных на рис. 21. Часть М\М2 дуги I, очевидно, уже не может иметь общих точек с траекторией L, так как ни часть траектории L, соответствующая значениям t > t\, ни часть, соответствующая значениям t < h, не может уже больше пересечь часть М\М2 дуги 1{в противном случае траектория, очевидно, должна была бы пересечь эту дугу I в противоположном направлении, что невозможно).

Это геометрически очевидное предложение, опирающееся на тог факт, что всякая простая замкнутая кривая на плоскости разделяет плоскость па две области (область вне и область внутри 8Г0Й кривой), является основным предложением

Рис. 21

Рис. 22

при рассмотрении возможного характера траекторий на плоскости.

На основании соображений, аналогичных приведенным в связи с иредложепием I, нетрудно убедиться в справедливости следующего предложения:

II. Замкнутая траектория может иметь с отрезком без контакта только одну точку пересечения (ситуация, изображенная на рис. 22, невозможна).

Приведем еще одно предложение, являющееся следствием предложения I и определения предельной точки.

III. Пусть незамкнутая полутраектория имеет предельную траекторию Lo, отличную от состояния равновесия. Если через какую-нибудь точку Мо траектории Lo проведена дуга без контакта, то па этой дуге без контакта будет лежать бесконечная последовательность точек

полутраекторпи L*, расположенных в порядке возрастания t,

стремящаяся к точке Мо (рис. 23).

Следующая теорема является основной теоремой, па

основании которой могут быть сделаны заключения отпосительпо

возможного характера траектории на плоскости.

Теорема 3 (основная теорема). Если полутраектория не замкнута и имеет хотя бы одну предельную траекторию.

Рис. 23

Устойчивый предельный цикл является адекватным образом автоколебаний (см. гл. 13, [2, 3]).

не являющуюся состоянием равновесия, то она сама не может быть предельной.

Доказательство опирается на предложения I и III.

Следствие. Незамкнутая траектория не может быть само-пределъной.

Теорема 3 отражает черты, характерные для траекторий динамической системы на плоскости (а также на сфере), и несправедлива для траекторий в других фазовых пространствах (например, на торе или в евклидовом пространстве трех измерений).

Приведем еще две теоремы, которые позволяют полностью установить возможный характер множества предельных точек полутраектории.

(Доказательство первой из этих теорем целиком опирается на теорему о непрерывной зависимости от начальных значений, а также на предложение III.)

Теорема 4. Если полутраектория имеет замкнутую предельную траекторию Ьо, то Ьо является единственной предельной траекторией для L+.

Теорема 5. Если срди предельных точек полутраектории нет состояний равновесия, то она либо замкнута, либо не замкнута, но имеет замкнутую предельную траекторию.

Замкнутая траектория Ьо, являющаяся либо со-, либо а-пре-дельной траекторией для всех отличных от нее траекторий, проходящих через достаточно близкие к ней точки (как внутри Ьо, так и вне Lo), называется предельным циклом. Очевидно, предельный цикл является изолированной замкнутой траекторией, т. е. через некоторую его окрестность, кроме него, не проходит больше ни одной замкнутой траектории. С другой стороны, всякая изолированная замкнутая траектория является предельным циклом, т. е. является предельной траекторией.

Предельный цикл называется устойчивым), если все траектории, проходящие через точки достаточно малой его окрестности, стремятся к нему при t + °°, и неустойчивым, если все такие траектории стремятся к нему ири t - оо (см. рис. 64 гл. 5).

Предельный цикл называется полу устойчивым, если все траектории, проходящие через достаточно близкие к нему точки, лежащие вне его, стремятся к нему при t + оо (t - °°), а лежащие внутри - при t - °° {t + °°) (см. рис. 65 гл. 5).

§ 5, Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств. Сформулированные теоремы позволяют установить возможный характер множества предельных точек полутраектории,