= ехр и, следовательно,

[Pxi%yp) + Qy{%)]dt = 0. о

Тогда при переходе от значений Я < Яо (Я -Яо1 > бо, бо > 0) к значениям Я > Яо в ео-окрестности Lo (ео > 0) возможны следующие два случая смены качественных структур:

а) При Я < Яо (Я -Яо1>бо) в ео-окрестности Lo нет ни одной замкнутой траектории. При Я = Яо появляется двукратный предельный цикл (из уплотнения траекторий), который затем при Я > Яо разделяется на два грубых предельных цикла - устойчивый и неустойчивый (см. рис. 100 гл. 10).

б) При Я < Яо в ео-окрестности Lo существует два грубых предельных цикла, из которых один устойчивый, а другой неустойчивый. При Я Яо эти циклы сближаются, и при Я = Яо сливаются в двукратный предельный цикл, который при Я > Яо исчезает.

) Эти случаи совершенно различны с точки зрения приложений: в случае а) при смене устойчивости фокуса появляются автоколебания с малой амплитудой, а в случае б) имеет место «срыв» изображающей точки.

ТОГО факта, что фокус из устойчивого делается неустойчивым) недостаточно для однозначного заключения о происходящей смене качественных структур (так как при этом может быть либо случай а), либо случай б)): для этого необходимы еще дополнительно сведения об устойчивости или неустойчивости сложного фокуса при X = Хо, т. е. о знаке ляпуновской величины

L, = аз(Яо).

Замечание 2. Значения Хо, при которых состояние равновеспя типа «узел» сливается с седлом (при X Яо, образуя при Я = Яо седло-узел), а также значения Яо, при которых устойчивый при Я < Яо фокус делается сложным, а затем неустойчивым (при Я>Яо), естественно рассматривать как граничные для области устойчивости, а условия А == О или о = О - как нарушение условий Раута - Гурвица (отрицательности действительных частей характеристического уравнения (см. § 4 гл. 13)).

III. При Я =Яо у системы (xj существует двойной предельный цикл Lo, т. е. такой предельный цикл, для которого в функции последования, построенной на дуге без контакта, проведенной через какую-нибудь его точку

S = ais + a2S + .. ., О,

) Появленпе двукратных предельных циклов полностью аналогично появлению двукратных корней у функции (очевидно, прп появлении двукратного цикла появляется двукратный корень у функции последования).

Именно, пусть рассматривается функция у = f(x, ц) (непрерывная, с непрерывными производными до порядка не меньшего двух) и ее корни, т. е. точки пересечения кривой у = f{x, \i) с осью х. При изменении ц функция у = f(x, i) меняется, и при этом всегда может появиться двукратный корень (который при дальнейшем изменении ц может разделиться на два). Без априорных сведений о характере функции f{x, ц) мы не можем ни утверждать, что такое появление двукратного корня невозможно, ни утверждать его наличие.

Замечание 3. Если мы знаем, что у рассматриваемой системы при значении к = Хо существует двукратный предельный цикл, го, как мы видели, вопрос о возможной смене качественных структур решается элементарно.

Однако вопрос об установлении факта появления двукратного предельного цикла (он появляется из уплотнения траекторий)), об установлении отсутствия такого появления является одной из наиболее сложных задач теории бифуркаций, для решения которой в настоящее вред1я нет сколько-нибудь общих методов (или приемов). Если не доказано (методом Дюлака, использованием топографической системы или еще каким-либо частным приемом) отсутствия предельных циклов, го мы, вообще говоря, не имеем никаких оснований для того, чтобы утверждать отсутствие любого числа двукратных предельных циклов, а следовательно, и любого четного числа предельных циклов. Мы не люжем также (без дополнительных специальных сведений о правых частях) ни утверждать, что при изменении параметра X не появляются двукратные предельные циклы, ни утверждать их появление. Правда, иногда косвенным рассуждением появление двукратных циклов удается показать (см. гл. 16).

IV. Прп А, = Яо у системы (В) существует сепаратриса L, идущая из седла в седло.

Рассмогрид! случай, когда сепаратриса L седла 0{хо, уо) образует петлю. В силу предположения о первой степени негрубостп системы при Я = Яо седловая величина

Ос = рх (Хд, г/о, Яо) + Qy (Хд, г/о, Я) ф 0.

В этом случае возможны следующие две смены качественных структур:

а) Пусть о, <0 (ае>0). Прп всех Я< Яо (1Я-Яо1>бо) в ео-окрестности седла 0(Яо) лежит седло О (Я). Все сепаратрисы седла О (Я) выходят из ео-окрестности петли L: одни - при возрастании t, другие - при убывании t. Все отличные ог О (Я) и от сепаратрис траектории системы (В»,), проходящие через ео-окресг-носгь L, выходят из этой окрестности и при возрастании, и ири убывании t.

При Х-" ко две из сепаратрис седла 0{X) - L ж L" сближаются и при Х = Хо совпадают в одну сепаратрису L, образующую устойчивую (неустойчивую) петлю. При Х>Хо сепаратриса L разделяется на две - L* и L** (с другил! взаимным расположением, чем L и L"), и при этом из петли рождается единственный устойчивый (неустойчивый) предельный цикл.

б) При всех Х<.Хо {\Х - Хо\<Ьо) в ео-окрестносги седла 0{Хо) лежит седло 0{Х), и единственный устойчивый (неустойчивый) предельный цикл L, на который накручивается одна из а-сепаратрис седла О (Я),-сепаратриса L*. При Я = Яо с сепаратрисой L* сближается м-сепаратриса седла О (Я)-сепаратриса при Я = Яо сепаратрисы L* и L** совпадают с сепаратрисой L, образующей петлю, предельный цикл 5 при зтом «влипает» в сепаратрису L. При Я > Яо сепаратриса L разделяется па две (без рождения предельного цикла) (см. рис. 101, 102 гл. 10).

Замечание 4. Подчеркнем тот факт (он часто используется в дальнейшем прп рассмотренпи конкретных задач), что устойчивый (неустойчивый) предельный цикл может родиться только из устойчивой (неустойчивой) петли, в которой Ос < О (Ос>0), и влипнуть только в петлю, в которой Ос < О (Ос>0).

Случай, когда сепаратриса при Я = Яо идет из одного седла в другое, мы предоставляем рассмотреть читателю (см. рис. 91

гл. 8). Рассмотрим еще два часто встречающихся в задачах случая (которые по недоразумению часто путают со случаями П и IV).

V. Рассмотрим случай смены устойчивости фокуса без рождения предельного цикла, когда бифуркационному значению параметра Я = Яо соответствует консервативная система.

Пусть прп Я = Яо состояние равновесия 0(Яо) является центром (рис. 106, а), при Я<Яо (1Я-Яо1 < бо) состояние равновесия О (Я) (лежащее в ео-окрестности 0(Яо)) является устойчивым фокусол! (рис. 106, б), а при Я > Яо - неустойчивым фокусом (рис. 106, в).