равновесия). Здесь возможны три структуры: неустойчивый фокус внутри устойчивого предельного цикла, устойчивый фокус, окруженный двумя предельными циклами, и устойчивый фокус (узел), к которому траектории идут из бесконечности. Первая из перечисленных структур существует для точек вне дискриминантной кривой в области между прямыми Li = О и L2 = О (LiL2<0, область {1\ на рис. 158, 161). Область существования двух предельных циклов примыкает на интервале Х<°> < X < Хз к куску дискриминантной кривой и к прямой Ll == 0. На интервале X"" < X < Xl при смещении с дискриминантной кривой в область одного состояния равновесия (см. рис. 159,5-9) исчезает состояние равновесия седло-узел и остаются два предельных цикла вокруг устойчивого фокуса (на рис. 159, 6-8 неустойчивый предельный цикл при исчезновении седло-узла возникает из замкнутой траектории, образованной со-сенаратрисой седло-узла). На интервале Xl < X < Хз ири переходе из области Li < О в область Ll > О (с убыванием о) из фокуса появляется второй неустойчивый предельный цикл (аз > О ири Х<Хз). Бифуркационная кривая (штриховая на рис. 158, 161), соответствующая слиянию устойчивого и неустойчивого предельных циклов, начинается в точке X = Хз на прямой Ll = О (здесь аз = 0) и пересекает дискриминантную кривую при Х = Х"", выделяя некоторую окрестность дискриминантной кривой и прямой Li = О, для точек которой есть одно устойчивое состояние равновесия и два предельных цикла (область [2] на рис. 158, 161). При переходе из области Li < О в область Ll > О при X >Хз устойчивый цикл стягивается к фокусу (аз < 0) и возникает структура без предельных циклов (область [5] на рис. 158, 161). Границами области без предельных циклов служат кусок дискриминантной кривой (для О X < Х°>), кривая двойных циклов (для Х°>Х<Хз) и прямая Li = 0 (для ХХз).

3.7. Разбиение пространства параметров. Разбиение пространства параметров на области различной качественной структуры по обе стороны линии симметричных структур L = О приведено на рис. 161. Соответствующие различным областям грубые структуры разбиения фазового пространства (обозначенные теми же номерами) представлены на рис. 160. Жирными линиями изображены сепаратрисы и предельные циклы, штриховой - неустойчивые предельные циклы. Устойчивые состояния равновесия - черные точки, неустойчивые - светлые.

Разбиение на рис. 161 соответствует предположению, сделанному в п. 3.4, об отсутствии предельных циклов для структур в точке X = 1 дискриминантной кривой. Если предположение не выполняется, то кривая двойных циклов (штриховая на рис. 161) будет проходить не через точку Х = Х<°>>1, а через точку Х = = Х°><1, и тогда исчезнут области {2\ и [5], а на рис. 160 - соответственно структуры 2 ш 3.

dm ИГ

нри некоторой идеализации описывает динамику оптического квантового генератора с управляемой добротностью резонатора.

По физическому смыслу задачи рассматриваются область фазового пространства иг О п параметры, удовлетворяющие условиям р > О и G > 1: И01 > О, Пй2 > 0.

Координаты состояний равновесия находим, приравнивая пулю правые части системы (1):

[п--Щ-.--11/71 = О, /94

01 -("+ 1)ге = 0.

Исключая из этих уравнений п, для абсцисс состояний равновесия получаем

= 0. (3)

- ("01--f «02 - 1 - --01 - «02 - 1)

Ординаты же состояний равновесия однозначно определяются абсциссами:

n = noil{m+i). (4)

Из (3) следует, что система (1) при всех рассматриваемых значениях параметров всегда имеет одно состояние равновесия 0\ с координатами

Шх = 0, п\ = по1 (5)

и не мол«ет иметь более трех состояний равновесия. Кроме т = О, уравнение (3) имеет еще два корня

2з==-~(">1--*02-1- -)±

± -ТУ- -j+-f Ki- «02- 1) (6)

(первый индекс 2 соответствует знаку плюс перед радикалом, второй- 3-знаку минус), являющихся в случае, когда они действительны, абсциссами двух других состояний равновесия системы (1): О2 и Оз. В дальпейгпем, изучая разбиение пространства параметров па области с различной качественной структурой, естественно рассматривать характер разбиения квадранта плоскости {пои П02), соответствующего reoi > О, гео2>0, при различных зна-

20 н. п. Баутин, Е. А. Леонтович

§ 3. Двумерная модель динамики твердотельного лазера [119].

Система дифференциальных уравнений

- системы, имеющие двукратное состояние равновесия, получающееся от слияния состояний равновесия Ог и Оз. Исследуя уравнение параболы обычными методами, нетрудно видеть, что при р < 1 она расположена вне рассматриваемого квадранта плоскости (reoi, геог), а при р > 1 - в этом квадранте.

Кроме того, как нетрудно видеть, при р < 1 корень тз отрицателен, и, следовательно, у системы (1) при р < 1, при значениях Щ1, геог вьппе прямой (7)-два состояния равновесия, а ниже - одно - Ol).

В случае р > 1 для области значений reoi, геог, Агз < О система (1) имеет одно состояние равновесия - Oi, а для области значений, где Агз > О (ниже прямой (6))-три состояния равновесия Ol, Ог, Оз. Прямая (7) в этом случае, очевидно, также соответствует системам с кратными состояниями равновесия. Общая точка Л параболы (8) с прямой соответствует динамической системе с трехкратным состоянием равновесия и делит прямую (7) на две части Ai2 и Ai3 (Ai2 соответствует слиянию Oi и Ог, а А13 - слиянию Ol и Оз). На рис. 162-164 цифрами /, , / указаны соответственно области плоскости параметров, при которых система имеет одно, два и три состояния равновесия с координатой /га 0.

Рассмотрим теперь вопрос о характере состояния равновесия системы (1). Если не учитывать различия между узлами и фокусами, то границами в пространстве параметров, определяющими области различного характера состояний равновесия и различной устойчивости узлов и фокусов, являются

PmQn - PnQm -

тп-\ , + re---1 {m + i)

a = К + <?n = - + 1) + G

= 0, (9)

02"

+ n--,--1

.(pm-1-1)2 pm--l

= 0, (10)

2) При переходе через прямую (6), для точек которой система имеет двукратное состояние равновесия, двойное состояние равновесия не исчезает (как в общем случае), а опять разделяется на два, но у одного из них координата т делается отрицательной.

чениях р и G. На плоскости (геи, геог) точкам прямой

По1 - гао2 - 1 = О, (7)

очевидно, соответствуют системы (1), имеющие двукратное состояние равновесия с равной нулю координатой т, а точкам кривой (параболы)

1 / 1 1 \ 1

23 = - «01--"o3-l--J + - (*ei~*03-l) = 0 (8)