и для 5д>5о - кривая Sq = {So), пересекающая биссектрису один раз (в точке склейки dSQ/dSO при Л=А+, а = <т+). Из границы области, заполненной замкнутыми кривыми, появляется единственный устойчивый предельный цикл. При последующем уменьшении о начальная точка функции последования перемещается из начала координат по оси (наименьшее соответствует траектории, идущей в устойчивый фокус и касающейся линии сшивания при Sq = 0), и функция последования 5о=}{8о) будет пересекать биссектрису дважды (из фокуса при перемещении его с линии склейки появляется единственный неустойчивый предельный цикл). Если сдвинуться по полупрямой в сторону увеличения X от значения Л = Л+ и затем уменьшить о, то функция последования будет целиком лежать ниже биссектрисы. Из непрерывности и дифференцируемости функции последования следует, что в любой малой полуокрестности точки (Л", cf"*") (ниже полупрямой) существуют X и <j, для которых функция последования касается биссектрисы. На фазовой плоскости этому соответствует появление двойного цикла. Такие точки образуют бифуркационную кривую, выходящую из точки {Х, о"*") на полупрямой Ll = 0.

Касание невозможно при 5ц<;5о, так как в объединении областей I VL II может быть не более одного цикла, и поэтому рождение двойного цикла при изменении параметров происходит при So = Sq от границы области, заполненной замкнутыми траекториями.

2.4. Рождение предельных циклов из концов отрезка покоя. Пусть прямая а - Хх - у = 0 и падающий участок характеристики совпадают (Л = «2). Падающий участок характеристики будет неустойчивым отрезком покоя, а области / и в силу условия (ki -1)<4а2 (см. п. 1) будут заполнены траекториями устойчивых фокусов. Легко получить явное выражение для преобразования в себя полупрямой о:

So = ехр {- 2/iin/())i} -f 6 («2 - 1) (1 + ехр {- hinjai}).

Здесь 6 - ширина области . Преобразование имеет одну устойчивую неподвижную точку.

Повернем теперь прямую о - Хх - у = 0 вокруг какой-либо точки на падающем участке против часовой стрелки. Отрезок покоя при этом разрушается и возникают седло в области и устойчивые фокусы в областях / и /. Пусть будет Л = кг - е, где е > О и мало. Ограничиваясь степенями е не выше первой, получим угловые коэффициенты сепаратрис: [-14-е/(а2 - 1) ] (для а-сепаратрис), [- аг - е/ (аг - 1) ] (для ю-сепаратрис).

При X = аг траектории, выходящие из точки, в которой при гФО возникает седло, накручиваются на предельный цикл, а-сепаратрисы седла в области при малых е > О лежат в малой

окрестности траекторий, выходящих из той же точки при е = О, и, следовательно, а-сепаратрпсы также накручиваются на устойчивый предельный цикл, охватывающий все состояния равновесия. Поэтому й)-сепаратрисы могут лишь скручиваться с неустойчивых циклов, лежащих в областях /- и II-III, охватывающих устойчивые фокусы, возникающие при повороте прямой соответственно в областях / и /. Таким образом, при повороте прямой о - Яа; - г/ = О из концов отрезка покоя иояв.тяются устойчивые фокусы в сопровождении охватывающих их неустойчивых циклов (фокусы и циклы возникают одновременно). В окрестности каждого фокуса лежит единственный предельный цпкл. Последнее следует из того, что производная функции последования, построенная с использованием траекторий седла в области , будет также даваться выражением (4), с тем лишь отличием, что с возрастанием будет 9 оо. 3, Бифуркации сепаратрис.

3.1. Расположение бифуркационной кривой для петли сепаратрисы. Пусть при о = оо и фиксированном %=%* прямая о - - Хх - у - О проходит через верхнюю угловую точку характеристики. Изменим о на величину х (и = оо -о) и покажем, что петля сепаратрисы за счет изменения о возникнуть не может. Пусть Sg VL S[ - отрезки, отсекаемые а- и ш-сепаратрисами линейного седла в области на границе областей / и , а и - координаты по преобразованию (3) на той же границе. Из (3) следует

Si=-box[l-4So/bo)], (6)

где - функция, обратная . Величины h\ и Ю], а следовательно, и функции X и от о не зависят.

Так как характеристика есть функция кусочно-линейная, то при изменении о величины iSo, S- и бо будут пропорциональны и:

Sx = У2- (8)

Сшивая траектории на границе областей I ж II (полагая Sq = Sq),k3 (6) и (7) находим

>.="f.«x[r(To/Ti)l = W (9)

а из (8) и (9)-

8i/S[ = Y3/Y2 = const.

Таким образом, при фиксированном X величины и Sl находятся в постоянном отношении и петля сепаратрисы (5 = Si) за счет изменения о возникнуть не может.

Если прямая о -Яа; -проходит через середину падаю-ntero участка и Я = Я1 таково, что существует петля сепаратрисы

сверху, ТО в силу симметрии фазового пространства одновременно должна существовать и петля сепаратрисы снизу. При этом осуществляется условие 7з/Т2 = 1. Так как и 2 от о не зависят, то это условие и, следовательно, обе петли сохраняются при Я = Ai для всех значений о внутри дискриминантной кривой.

3.2. Устойчивость петель сепаратрис. Устойчивость петель сепаратрис будет определяться знаком седловой величины, если седло располагается внутри или на границе области (теоремы 44 и 47 в [13] переносятся на случай, когда сшитая петля содержит аналитическое седло). В рассматриваемом случае аг > 1 седловая величина положительна {Рх + Qy = oi. - i) и петли сепаратрис пзнутри и снаружи неустойчивы. Прп изменении параметров к петле стягивается или от нее рождается единственный неустойчивый предельный цикл (см. гл. 10, § 2, IV, и гл. 17, § 4, п. 4).

4. Качественные структуры разбиения фазового пространства.

4.1. Фазовые портреты, соответствующие значениям параметров о, X и о", X таким, что прямые а - Хх - у = 0 и о"- - Хх - у = О располагаются симметрично относительно середины падающего участка характеристики, будут симметричны относительно последней. При изучении разбиения пространства параметров поэтому можно рассматривать только часть пространства {X, о) выше либо ниже линии симметрии о - Xxq - г/о = О, где хо, уо - координаты середины падающего участка.

4.2. Рассмотрим структуры разбиения фазового пространства и последовательность бифуркаций, переводящих одну структуру в другую для значений параметров вдоль бифуркационной прямой a - Xxi - yi=0 (xi, Ух - координаты верхней угловой точки ха-рактеристикп).

Пусть Х>Х (рис. 215, а). Состояние равновесия - устойчивый фокус на склейке, и все траектории идут к нему. При X = ~Х* (рис. 215,6) возникает область, заполненная замкнутыми траекториями. Все сшитые но областям I-III траектории накручиваются на границу этой области. При ai<X<X* (рис. 215, в) фокус на склейке неустойчив и при уменьшении X от значения X = X* от границы области, заполненной замкнутыми траекториями, рождается устойчивый предельный цикл. При Х = (рис. 215, г) (острие дискриминантной кривой) падающий участок характеристики и прямая а - Хх - у =0 совпадают. Возникает неустойчивый отрезок покоя внутри устойчивого предельного цикла. При дальнейшем уменьшении X вдоль дискриминантной кривой появляются два состояния равновесия: склеенный вырожденный седло-узел (см. гл. 4, § 2) и устойчивый фокус в области /. От конца отрезка покоя вместе с фокусом рождается неустойчивый предельный цикл (а-сепаратриса вырожденного состояния равновесия идет к устойчивому циклу, охватывающему все состояния равновесия, ю-сепаратриса скручивается с неустой-