б) характер узла {при т нечетном и Ат<0); причем при Ь<0 узел устойчивый, а при Ь > О - неустойчивый;

в) состояние равновесия с одним узловым сектором и двумя седловыми {при т четном и любом знаке Am). При Ь < О узловой сектор устойчивый, при Ь> О - неустойчивый. Кроме того, если

ЪАт < О, то траектории узлового сектора стремятся к О (при t -* +00 или при t -оо в зависимости ог знака Ъ) слева от оси у (рис. 51, а), а если ЬАт>0, то справа от оси у (рис. 51, б)).

Состояние равновесия в слзгчае а) мы будем называть сложным седлом, в случае в) - седло-узлом, а в случае б)- сложным узлом ).

Нетрудно видеть (см. §1), что, когда система имеет канонический вид (7), существует два направления, по которым траектории могут стремиться к рассматриваемому состоянию равновесия, это: О, я и я/2, Зя/2.

На рис. 51, а, б представлен седло-узел в случае, когда система приведена к каноническому виду (7).

Очевидно, в случае, когда в рассматриваемых координатах X ж у система не имеет канонического вида, направления, в которых траектории стремятся к началу координат, могут бьггь отличны от направления осей. Такой случай представлен для случая седло-узла на рис. 51, в.

В дальнейшем особый интерес для нас будет представлять случай m = 2, который мы будем называть случаем простейшего двукратного седло-узла. В случае т> 2 будем называть состояние равновесия сложным седло-узлом.

) Хотя на рис. 51 оси координат нарисованы, но они не относятся к качественной структуре состояния равновесия и не надо придавать значения деталям взаимного расположения траектории и осей.

) Геометрически в рассматриваемом случае сложное седло и сложный узел ничем не отличаются от простого седла и узла.

II. А (О, 0)=0, о (О, 0)=0. в этом случае, очевидно, оба характеристических корня состояния равновесия равны нулю.

В рассматриваемом случае система линейным неособенным преобразованием приводится к виду

dxIdt = y + Pt {х, у), dy/dt = (?* {X, у),

где Р1(х,у) и 2(1) - аналитические функции, разложения которых по степеням х ж у начинаются с членов не менее чем второго порядка.

Рассмотрим следующие функции:

1) функцию г/ = ф(а;), являющуюся решением уравнения

у + Р*{х, г/)=0;

2) функцию у = -{х), определяемую формулой

{x) = Q*{x, ф(х));

эта функция заведомо не равна нулю тождественно (в силу предположения об отсутствии общих множителей, отличных от постоянных у правых частей рассматриваемой системы), поэтому в разложении гз(а;) по степеням х заведомо будут отличные от нуля члены, и мы можем написать

{x)=Q*{x, ф(а;))=а,а; + ...; а,0;

3) функцию

о {х) = Pll, {х, ф {х)) + Qly {х, ф {х)) = 6„а;" + ...

Функция о (ж), в отличие от {х), может тождественно обращаться в нуль. Рассмотрим сначала случай, когда а{х)ф{), так что при некотором п ЪпФО. Числа к, п ж коэффициенты йй и On характеризуют качественную структуру особой точки. При этом число к характеризует кратность общей точки изоклин (см. ч. II). Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть к четное, к = 2т.

Тогда: 1) в случае, если п<т, особая точка 0(0, 0) имеет качественный характер седло-узла (рис. 52);

2) в случае, когда п> т, суиествует одна полутраектория, стремящаяся к О при t -* -<», и одна полутраектория, стремящаяся к О при t +«>, все остальные траектории и при возрастании, и при убывании t выходят из окрестности О (г. е. окрестность особой точки О состоит из двух седловых секторов).

Такое состояние равновесия мы будем называть вырожденным седло-узлом (рис. 53).

Отметим, что рис. 53 выполнен при условии 6„ > О и ajm < О, а рис. 52 соответствует случаю Ь„ > О, аг™ < 0.

Теорема 4. Пусть к = 2т -Ь 1 - нечетное число и am+i Ф О, и пусть V = Ь1 -f 4 (т -f 1) aam+i-

Тогда: 1) если a2m+i > О, то особая точка 0(0, 0) имеет качественный характер седла (рис. 54);

2) если a2m+i < О, то особая точка имеет:

а) характер фокуса или центра при п> т, а также при п = = m ц у < О [92];

б) характер узла, если п четное и при этом п<т или п = т и 10;

в) одну замкнутую узловую {эллиптическую) область, две сопровождающие ее узловые области и одну седловую область

Рис. 52

Рис. 53

Рис. 54

(рис. 55), если п - нечетное число и при этом п < т или п = т и -iO.

Рис. 54 и 55 выполнены при условии Ь„> 0; в случае 6„ < о расположение траекторий получается симметричным отображением относительно оси X.

Нетрудно видеть, что в случае рассматриваемых состояний равновесия уравнение для определения направления, по которому траектории стремятся к состоянию равновесия:

bk + {a-d)k-c = 0, (8)

имеет двукратный нулевой корень (так как мы имеем a = d = c = 0, b ¥=0). Все стремящиеся к состоянию равновесия с Рис. 55 определенным направлением

траектории стремятся к нему, касаясь оси X (см. рис. 52-55). Однако если состояние равновесия есть фокус или центр, то имеем, очевидно, случай, возможность которого была указана: когда, несмотря на наличие действительных корней уравненпя (8) и траекторий, стремящихся