б) {Ф 0. При -у < 1 - два состояния равновесия: Oi(a, 0) и О2(л-аь0),

где sin «1 = -у; в точке Ог - всегда седло. Когда /i = О, система имеет аналитический интеграл

г/2/2 - cos ф - = С,

и состояние равновесия 0\ - центр. Картина траекторий на фазовом цилиндре в этом случае имеет вид, представленный на рис. 138, б.

Рис. 138

При = i состояния равновесия Oi и Ог сливаются в одно двукратное состояние равновесия; центр и седло сливаются, образуя одну двукратную точку.

При -у > 1 у системы нет состояний равновесия (рис. 138, в).

Так как

P<P + Qv = - 2h,

то при кФО система не имеет предельных циклов, охватывающих состояние равновесия, и может иметь не более одного предельного цикла, охватывающего цилиндр, если такой цикл существует. Для того чтобы показать существование предельного

Вторым решением 1/2(6) в случае > 1, как нетрудно видеть, будет любая кривая, проходящая через точку на оси у = 0 (рис. 138, г").

Использование системы при h = О как системы сравнения здесь не может дать необходимую информацию относительно существования циклов, охватывающих цилиндр, так как кривые, схватывающие цилиндр, незамкнутые.

цикла, охватывающего цилиндр, достаточно указать два частных решения системы yi{(p), 1/2{ф) такие, что

г/,(ф + 2я)< г/1(ф), г/2(ф + 2л) г/2(ф).

Первым из этих решений, как нетрудно видеть, будет любая кривая, проходящая через точку, лежащую выше изоклины горизонтальных наклонов

Y - sin 6

ГЛАВА 15

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА)

§ 1. Общие замечания. В связи с использованием метода Понтрягина сделаем сначала некоторые замечания общего характера.

Рассмотрим систему, близкую к консервативной (линейной или нелинейной):

(Ад>

У = -Нх + \лд,

х = Ну, у = - Нх (Ае)

- консервативная система и

Н{х, y)=h

- ее интеграл.

Относительно консервативной системы (Ао) предположим дополнительно, что у нее только простые состояния равновесия, т. е. только седла и центры. В § 7 гл. 11 было дано условие, необходимое для того, чтобы у системы (А,.) при малых р, существовал предельный цикл, близкий к некоторой кривой Сд (уравнение кривой Cf,: Н {х,у) = hg) системы (Ао) (т. е. предельный цикл при рО, стремящийся к C/iJ. Это условие заключается в равенстве нулю при h = ho функции

•ф (/г) = \ pdy - q dx.

Достаточное условие существования такого предельного цикла - это

Я15(/Ю)=0, l)(/lo)=0.

Функция iK/i) в § 7 гл. 11 была определена только в слзгчае кривой Ch {Н(х, y)=h) консервативной системы, ни в одной точке которой обе производные Н и д одновременно не об-