Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

б) {Ф 0. При -у < 1 - два состояния равновесия: Oi(a, 0) и О2(л-аь0),

где sin «1 = -у; в точке Ог - всегда седло. Когда /i = О, система имеет аналитический интеграл

г/2/2 - cos ф - = С,

и состояние равновесия 0\ - центр. Картина траекторий на фазовом цилиндре в этом случае имеет вид, представленный на рис. 138, б.





Рис. 138

При = i состояния равновесия Oi и Ог сливаются в одно двукратное состояние равновесия; центр и седло сливаются, образуя одну двукратную точку.

При -у > 1 у системы нет состояний равновесия (рис. 138, в).

Так как

P<P + Qv = - 2h,

то при кФО система не имеет предельных циклов, охватывающих состояние равновесия, и может иметь не более одного предельного цикла, охватывающего цилиндр, если такой цикл существует. Для того чтобы показать существование предельного



Вторым решением 1/2(6) в случае > 1, как нетрудно видеть, будет любая кривая, проходящая через точку на оси у = 0 (рис. 138, г").

Использование системы при h = О как системы сравнения здесь не может дать необходимую информацию относительно существования циклов, охватывающих цилиндр, так как кривые, схватывающие цилиндр, незамкнутые.

цикла, охватывающего цилиндр, достаточно указать два частных решения системы yi{(p), 1/2{ф) такие, что

г/,(ф + 2я)< г/1(ф), г/2(ф + 2л) г/2(ф).

Первым из этих решений, как нетрудно видеть, будет любая кривая, проходящая через точку, лежащую выше изоклины горизонтальных наклонов

Y - sin 6



ГЛАВА 15

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА)

§ 1. Общие замечания. В связи с использованием метода Понтрягина сделаем сначала некоторые замечания общего характера.

Рассмотрим систему, близкую к консервативной (линейной или нелинейной):

(Ад>

У = -Нх + \лд,

х = Ну, у = - Нх (Ае)

- консервативная система и

Н{х, y)=h

- ее интеграл.

Относительно консервативной системы (Ао) предположим дополнительно, что у нее только простые состояния равновесия, т. е. только седла и центры. В § 7 гл. 11 было дано условие, необходимое для того, чтобы у системы (А,.) при малых р, существовал предельный цикл, близкий к некоторой кривой Сд (уравнение кривой Cf,: Н {х,у) = hg) системы (Ао) (т. е. предельный цикл при рО, стремящийся к C/iJ. Это условие заключается в равенстве нулю при h = ho функции

•ф (/г) = \ pdy - q dx.

Достаточное условие существования такого предельного цикла - это

Я15(/Ю)=0, l)(/lo)=0.

Функция iK/i) в § 7 гл. 11 была определена только в слзгчае кривой Ch {Н(х, y)=h) консервативной системы, ни в одной точке которой обе производные Н и д одновременно не об-




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0127