Н.Н.Баутин, Е.А.Леонтович МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

Содержит справочный материал по теории динамических систем и качественное исследование большого количества динамических систем из приложений.

Цель книги - показать эффективность методов п приемов качественного исследования динамических систем и одновременно естественность использования этой теории при рассмотрении математических моделей реальных систем.

Содержание

Предисловие к первому изданию 9

Часть I АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ Глава 1. Общие сведения о динамической системе на плоскости. 11

Основные теоремы § 1. Автономная динамическая система на плоскости 11

§ 2. Теорема существования и единственности решения 12

§ 3. Простейшие свойства решений системы (А) 13

§ 4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости 15 (х,у)

§ 5. Сопоставление геометрической интерпретации системы (А) в 17

пространстве (х, у, t) с интерпретацией на фазовой плоскости § 6. Некоторые термины 18

§ 7. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных 19

условий

§ 8. Направление на траекториях. Изменение параметризации 19

§ 9. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической 22

системе

§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае аналитических 23

правых частей Р(х, у) и Q(x, у) системы (А) §11. Что значит "найти решение динамической системы" 25

§ 12. Примеры 26

§ 13. Замечания по поводу примеров § 12 35

§ 14. Математическое определение качественной (топологической) 37

структуры разбиения на траектории и качественного исследования

динамической системы Глава 2. Возможный характер отдельной траектории. Теория 40

Пуанкаре - Бендиксона. Особые траектории Введение 40

§ 1. Дуга без контакта 40

§ 2. Цикл без контакта 42

§ 3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная 43

траектория

§ 4. Основная теорема 46

§ 5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств 48

§ 6. Особые и неособые полутраектории и траектории 50

§ 7. Возможные типы особых, и неособых траекторий 52

§ 8. Случай конечного числа особых траекторий. Элементарные ячейки 53

§ 9. Возможные типы ячеек. Односвязные и дву связные ячейки 55

§ 10. Два подхода к описанию качественной структуры 56

§11. Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в 57

случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической

системы

§ 12. Устойчивость по Ляпунову 63

Глава 3. Исследование качественной структуры окрестности 65 состояния равновесия (особой точки)

Введение 65

§ 1. Простые состояния равновесия (особые точки) 65

§ 2. Приведение динамической системы к каноническому виду 66

§ 3. Возможный характер простых состояний равновесия. Грубые 68

состояния равновесия

§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состояний 69

равновесия

§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими 70 корнями

§ 6. Направления, в которых траектории стремятся к простым 75

состояниям равновесия

§ 7. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может 77

стремиться к простому состоянию равновесия

§ 8. Сводка сведений о грубых состояниях равновесия 80

Глава 4. Качественная структура окрестностей некоторых сложных 84

состояний равновесия

§ 1. Направления, в которых траектории стремятся к сложному 84

состоянию равновесия

§ 2. Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми 86

характеристическими корнями

§ 3. Примеры 91

§ 4. Нормальные формы 94

Глава 5. Функция последования. Простые и сложные предельные 95

циклы

§ 1. Функция последования 95

§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки 97

точечного отображения

§ 3. Функция соответствия 98

§ 4. Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые и сложные 99

предельные циклы

§ 5. Аналитические выражения для коэффициентов функции 103

последования. Характеристический показатель замкнутой траектории

Глава 6. Некоторые приемы качественного исследования 106

§ 1. Некоторые признаки существования и отсутствия предельных 106

циклов

§ 2. Изучение поведения интегральных кривых в бесконечности. Сфера 107 Пуанкаре

§ 3. Примеры исследования в бесконечности 109

§ 4. Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов 113

§ 5. Топографическая система Пуанкаре. Функция Ляпунова. Кривые 118 контактов

Часть П. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ Глава 7. Двумерные консервативные системы. Неконсервативные 128 динамические системы теории колебаний. Общие теоремы

Введение 128

§ 1. Свойства консервативных систем на плоскости 128

§ 2. Динамические системы, характерные для теории колебаний 133

§ 3. Измененные системы. Системы, правые части которых зависят от 131 параметра

§ 4. Основные теоремы о зависимости решения от изменения правых 133

частей динамической системы § 5. Грубость динамической системы и теорема о непрерывной 136

зависимости решения от изменения правых частей Глава 8. Грубые динамические системы 138

§ 1. Определение грубой динамической системы 138

§ 2. Состояния равновесия, возможные в грубой динамической системе 141 § 3. Состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими 142

корнями

§ 4. Замкнутые траектории, возможные в грубой системе 143

§ 5. Поведение сепаратрис седел в грубых системах 145

§ 6. Необходимые условия грубости. Достаточность этих условий для 145 грубости системы

§ 7. Пространство динамических систем. Всюду плотность грубых 147

(двумерных) динамических систем § 8. Понятие грубости при более общих предположениях относительно 148

правых частей динамической системы § 9. Типы особых траекторий и ячеек в грубых системах 151

§ 10. Замечания по поводу определения грубой системы 153

Глава 9. Простейшие негрубые динамические системы - системы 155

первой степени негрубости § 1. Общие замечания 155

§ 2. Системы первой степени негрубости 155

§ 3. Состояния равновесия, возможные в системе первой степени 157

негрубости