7. = i-т

в случае, когда в точках Lq Р(ф, у)ФО, так что уравнение Lq может быть записано в виде

г/ = /(ф)

{У = 1{Ц>), очевидно, является решением уравнения dy/d(f> = = <?(ф, y)/P{<f, у)), мы имеем

[ф (ф,/(ф)) + у (ф,/(ф))]гф

р (ф, / (ф))

J IP- (Ф, / (Ф))] -ф ° О

При этом в случае, когда в точках Lq

Р(Ф, У)>0,

мы имеем

Т 2Я

(ф, / (Ф))

а в случае, когда в точках Lq

P{<f, У)<0,

имеем

т = -

(Ф,/(Ф))

Условием устойчивости цикла является

h<0,

условием неустойчивости -

h>0.

Принимая во внимание знак Р(ф, у) в точках Lq, мы можем также записать условия устойчивости цикла, охватывающего цилиндр, в следующей форме. 14*

Предельный цикл, охватывающий цилиндр, называется к-крат-ным, если «1 = 1 и первый не равный нулю коэффициент at (t > 2) есть а.

Если «1 = 1 и а,-= О (i>2), то все траектории в окрестности рассматриваемой траектории Lq замкнуты (и, очевидно, охватывают цилиндр).

При этом

«1 = е",

Г [ф(Ф./(Ф)) + 9ИР/(Ф))]Ф п /гч

"J Р(Ф,/(Ф))

(Ф, / (Ф))

Условие неустойчивости: при Р(ф, у)>0

/>0;

при Р(ф, у)<0

§ 3. Приемы исследования качественной структуры динамической системы на цилиндре.

1. Критерии Бендиксона и Дюлака. Если удается подобрать такую аналитическую функцию F{(f, у), что в некоторой области, заключенной между двумя замкнутыми кривыми, охватывающими цилиндр, имеют место неравенства

d(F(<p, у)Р(<р, у)) д (F (ф, у) Q (ф, у)) ,

-щ-+-Vy-

то в этой области g не существует замкнутых траекторий, не охватывающих цилиндр, и может существовать не более одной замкнутой траектории, охватывающей цилиндр.

2. Топографическая система на цилиндре. Топографическая система на цилиндре

может быть системой замкнутых (непересекающихся) кривых, как охватывающих, так и не охватывающих цилиндр. Использование топографических систем на цилиндре для установления существования предельных циклов, полностью ана.логично (с очевидными изменениями) их использованию на плоскости.

Использование систем сравнения, в частности консервативных систем, может быть на цилиндрической поверхности проведено полностью аналогично тому, как это делалось на плоскости.

§ 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля). Определение грубости и первой степени негрубости системы на цилиндре в области, ограниченной двумя циклами без

) См. [46].

Условие устойчивости: при Р(ф, у)>0

. (• [ф i4,fm + Qy (Ф,/(Ф))]Ф J (Ф,/(Ф))

при Р(ф, !/)< О

) От требования, что область ограничена циклами без контакта, можно освободиться, однако при этом определение усложняется.

контакта, охватывающими цилиндре), совершенно такое же, как и на плоскости, и мы его не приводим.

Необходимые и достаточные условия для грубости и первой степени негрубости динамической систе.мы на цилиндре, с очевидными дополнениями (касающимися замкнутых траекторий и замкнутых контуров, охватывающих цилиндр) те же, что и на плоскости, именно:

А. Для того чтобы динамическая система на цилиндре была грубой в области G, ограниченной двумя циклами без контакта, охватывающими цилиндр, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) В области G существуют только грубые состояния равновесия (т. е. состояния равновесия, для которых Д ¥= О и в случае, когда Д > О, а¥=0).

2) В области G пет предельных циклов, как не охватывающих, так и охватывающих цилиндр, для которых h = 0.

3) В области G не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло.

Б. Для того чтобы динамическая система на гщлиндре была системой первой степени негрубости, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (ср. гл. 9):

1) Система имеет одну и только одну из негрубых особых траекторий следующих типов:

а) двукратное состояние равновесия седло-узел;

б) сложный фокус первого порядка (а = 0, Li =5 0);

в) двукратный предельный цикл, пе охватывающий или охватывающий цилиндр (т. е. предельный цикл, для которого h = О, а в функции последования аг Ф 0);

г) сепаратрису, идущую из седла в седло, причем в случае, когда сепаратриса идет из седла 0(фо, г/о) в пего же, она может как не охватывать, так и охватывать цилиндр, и при этом в седле О (фо, г/о) должно быть Ос = Рц, {%, у) + Qy (фо, У о) ¥= 0.

2) Сепаратриса седла не может иметь в качестве своей предельной траектории сепаратрису, идущую из седла в то же седло (образующую петлю, либо не охватывающую, либо охватывающую цилиндр).

3) Сепаратриса седло-узла пе может: быть одновременно и со-, п а-сепаратрисой седло-узла; быть одновременно сепаратрисой седла.

4) С двух различных сторон двукратного цикла (как охва-тыващего, так и не охватывающего цилиндр) к нему не могут стремиться сепаратрисы седел.

Бифуркации в динамических системах на цилиндре, при которых исходная система (или система, соответствующая бифурка-