щая система имеет два предельных цикла, если

У 4Д - о

И не имеет предельных циклов, если

2) если в точке М в ряду а, L\, L2 имеется не более одной перемены знака, то число предельных циклов в бо-окрестности состояния равновесия системы равно числу перемен знака в ряду а, Li, L2.

Система (А) при условиях

о=(а + й)=ОиА>0

подстановкой

ах 4- Ъц , /-Г

1 = х, т1 =--, т = УАт

приводится к виду

-§ = - П + л) + Psih г\) + PAh Л) + 5 (1, г\)+ = 5 + 2(5, Г1) + (?з(, Т1) + Q,{1, r\) + Q,a,ri,+

где и

Л (I, Ti)= а,оГ + а-ыГ-т! + .. . + ао.т1\ <?i(l, Ti)= 6,оГ + 6i-i,ir-N + • • • + М\ i = 3, 4, 5.

При условии Li = о мы имеем следуюгцее выражение для L2 [121]:

2 = [йраао (5ао2и + 10ао2а2о + а + lla2oii + «20 -

- Зйцбао - lObaooa - 4a?i - llaiibo2 - 602) + «2002 (602 - - 5aii6o2 + Шд\о - 2au - dnho + Чап - бао - 10а2оао2 +

+ 2Ь\ + Saoan) + «0202 (Su - - бацЬа) - аарао (Sau - - -бааоп) -t- а?1 {а + Н) - b\i{bg + - 5Ьо («хг + Зоз)-Ь + Ьо2 (321 - 6ai2 - 5аз(,) -j- (aj2 -t- Я30) + Ь2оЬ(,2 (521 - Ъа - - 96оз -t- 5аз(,) - 20011 (4fli2 + ЭЬз -Ь 5азо) -Ь bgaiibi - -Ь

+ зо) - 5а?2 {21 + Зйзо) + 020 (312 - 621 - 5bJ +

+ bli (21 + боз) + «2002 (512 - 521 - дад + БЬд) -

- 00211 (421 + Эйзо + 56оз) + «2011 (312 - 21 + АЬдз) + + 2011 (230 + 12) + 0211

(730 - «21 + 512 + аз) + + 2aiibii («03 + Ьзо) + 2а,д\д {8Ьд - Ба, - Ь) + 2ад\ {Ь -

- 521 - 512 + 4а(,з) + «2011 (30 + 521 - 12 + 7аоз) -

- 2а(,2&20 («21 + 12) + 20202 (803 - 512 - «21) + 2011 (23 + + 21) + Ьи(56о4 - 22 + 213 - ЗЬ,о) + S2 (222 + 200, + Бйз +

+ 331) + «20 (422 + 2204 + 7а-1з - бЬ + Ы) - - (222 + 20аад + 56з1 + ЗЬз) - {Ъад - «22 + 231 - Sa) +

+ 321 (230 + брз + «12) - З612 (203 + «30 + 21) + Зйрз («12 +

+ З&оз) - З&зо (21 + Зйзо) - 02(422 + 22ад + 731 - 6а(,4 + 913) + + 361 + З623 + 1505 + 1550 + 332 + 314].

§ 6. Поворот векторного поля. В гл. 7 мы уже рассматривали случай, когда в каждой точке угол между вектором, определенным системой

х = Р(х, г/), y = Qix,y), (А)

и вектором, определенным системой

х = Р{х,у), y = Q{x,y), (А)

имеет один и тот же знак. Именно, в качестве системе (А) мы рассматривали систему вида

х = Р{х, y) + ,iiQ{x, у), y=Q{x, у)~цР{х, у).

Тогда тангенс угла ф между вектором, определенным системой (А), и вектором, определенным системой (А), будет Q (х, у) - цР (X, у) Q (х, у) tc, ш (.y) + [ig(,y) Р(,У) „

. , Q{, у)~\Р{х, у) Q (X, у) - f Р{, y) + \Q (X, у) Р(х, у)

т. е. угол ф один и тот же во всех точках плоскости. Очевидно, при р. < О угол ф положителен, а при р > О отрицателен. Мы будем также рассматривать и более общий случай, когда угол между векторами, определенными соответственно системами (А) и (А), в каждой точке плоскости (или некоторой данной области) не меняет знака, хотя и не постоянен.

Будем говорить, что при переходе от системы (А) к системе (А) мы имеем поворот поля (или что поле поворачивается на угол того или другого знака), если Р{х, у) и Q{x, у) обращаются

в нуль в тех и только тех точках, в которых Р{х, у)=0, Q{x, i/)=0,

и выражение

Р{х, y)Q{x, y)-Q{x, y)F{x, у)

не меняет знака на плоскости (ж, у) (или в некоторой данной области) и не обращается в нуль вдоль интегральных кривых систем (А) и (А).

Рассмотрим простые примеры.

Пример 1. Пусть дана система

dxIdt = г/, dyldt = -у - Я(1 - d cos ф)у. (А)

Рассмотрим ее при некотором фиксированном значении = Ifo и посмотрим, как меняется поле при фиксированных Я и d и при изменении f, т. е. рассмотрим угол между векторами, определяемыми системой

dx/dt = у, dy/dt = o - %{i - dcos(p)y, (AoJ

и векторами, определенными системой (А).

Выражение Р{х, y)Q{x, y)-Q{x, у)Р{х, у) в этом случае имеет вид

{ч-ь)у-

Таким образом, в области, где у > О, при увеличении поле поворачивается на положительный угол, а в области, где у < < О,- на отрицательный. При уменьшении до fo, очевидно, имеет место обратное. Пример 2. Пусть

х = у = Р{х,у), у =-х +цх - у = Q{x, у). Рассмотрим измененную систему

х = У, у = -X + dy + цх - г/2.

Выражение

Р{х, y)Q{x, y)-Q{x, у)Р(х, y)=dy

не меняет знака на плоскости (ж, у), касание траекторий происходит вдоль оси ж, не являющейся интегральной кривой, и при этом касание нечетного порядка. Траектории измененной системы всюду пересекают траектории исходной системы.

Опишем поведение некоторых особых траекторий при повороте поля.

1. Состояния равновесия остаются на прежних местах (имеют те же координаты).

2. При повороте на положительный (отрицательный) угол сепаратрисы седел (как а-, так и ю-сепаратрисы) поворачиваются на положительный (отрицательный) угол (рис. 111).