В сепаратрису состояния равновесия (л, 0), образующую петлю, и исчезает. 2) Точка пересечения переходит на горизонтальный участок линии v{u) (рис. 228, в). На цикле при этом появляется

Рис. 228

вертикальный участок и на прямой ф = -л. При дальнейшем изменении параметров концевая точка линии попадает на горизонтальный участок линии v(u). Цикл влипает в сепаратрису состояния равновесия (л, 0), образующую петлю, и исчезает.

ГЛАВА 20

ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ И ГРУБОСТИ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ [39, 41, 42]

Введение. В уравнениях движения динамических систем, моделирующих поведение технических устройств, обычно бывает возможно наряду с параметрами системы выделить не содержащие параметры нормированные характеристики (синусоидальные, полигональные, релейные и т. д.), описывающие поведение отдельных элементов этого устройства. Выбор таких характеристик всегда в какой-то мере произволен и диктуется, с одной стороны, соответствием поведения характеристики модели поведению реальной характеристики изучаемого устройства, а с другой стороны, ограничен требованием получения такой системы уравнений, исследование которой может быть проведено с необходимой полнотой.

Удачный выбор характеристики (удачная аппроксимация) весьма важен для создания модели, пригодной для исследования.

При качественном исследовании динамических систем можно использовать переход от исходной модели к упрощенной или кусочно-интегрируемой, аппроксимируя характеристики в уравнениях движения. При этом возникает важный вопрос о допустимых отклонениях аппроксимирующих функций от реальных характеристик при сохранении необходимой близости между исходной и аппроксимирующей системой. Понятие необходимой близости не однозначно и определяется целями исследования. Естественным требованием при создании удобной модели за счет изменения аппроксимации будет при этом требование сохранения при изменении характеристик качественной структуры раз-бения пространства параметров и фазового пространства исследуемой системы. Таким образом, возникает задача выяснить, в какой мере возможно изменять характеристики системы, не изменяя существенно общую картину зависимости поведения траекторий от параметров, и выяснить, что может происходить с пространством параметров системы при изменении характеристик. В общей постановке задача сводится к вопросу о сохранении или потере бифуркаций при переходе к аппроксимирующей системе. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что не все бифуркации могут бьггь прослежены регулярными методами, и, кроме

того, для СШИТЫХ аппроксимируююцих систем (кусолно-аналити-леских) могут возникать новые типы бифуркации, для которых еш;е нет полной классификации. Поэтому представляет интерес сравнительное рассмотрение конкретных динамических систем при разных аппроксимациях.

Дадим сначала общее определенпе. Будем рассматривать уравнения вида

х = Р[х, у, Fiix),).], У = Q[x,y,pi{x),%,], (1)

где F,{x) и j{x)- кусочно-непрерывные (в частном случае аналитические) характеристики системы и Ял-параметры.

Определение. Пространство параметров Я» системы (1) будем называть грубым по отношению к классу характеристик Fi{x) и г5з(ж), если для всех характеристик этого класса остается неизменной качественная структура разбиения пространства параметров Я на области одинаковой (или сходной в некотором смысле) (см. гл. 17 и 18) структуры разбиения фазового пространства на траектории.

Задача выделения классов характеристик, ио отношению к которым пространство параметров Я системы (1) будет грубым, сводится к задаче изучения бифуркаций, возможных в системе при изменении характеристик. Если при замене одной характеристики другой не исчезают какие-либо возможные бифуркации и но ПОЯВ.ЛЯЮТСЯ новые, то система будет грубой в указанном выше смысле ио отнощению к этим характеристикам. В общем случае эта задача очень трудна и не существует регулярных методов для ее решения. Бифуркации, возможные в системе, в неодинаковой степени доступны для исследования. Простейшие из них характеризуются значениями некоторых величин, отнесенных к точке фазового пространства (таковы бифуркации сложных состояний равновесия или бифуркации, связанные с оценкой числа предельных циклов, появляющихся из состояния равновесия типа фокус или от петли сепаратрисы), другие требуют сведений о глобальном поведении траекторий и не могут быть получены регулярными методами (сюда относятся весьма сложные вопросы о существовании сепаратрис, идущих из седла в седло, и рождении двойных предельных циклов из сгущения траекторий).

Однако в некоторых случаях такие глобальные оценки могут быть получены при использовании специфики исследуемых уравнений или при использовании специально подобранных систем сравнения, и тогда поставленная задача допускает печное решение. Чаще, однако, оказывается возможным выделение таких классов характеристик, ири которых можно обеспечить неизменность разбиения пространства параметров на области не тождественной, но лишь сходной в некотором смысле структуры.

Например, можно условиться не различать области пространства параметров, которым соответствуют разбиения фазового про-