ДОПОЛНЕНИЕ

§ 1. Динамические системы на двумерных поверхностях. В настоящей книге приведен ряд сведений о двумерных динамических системах, фазовым пространством которых является плоскость или сфера. Здесь мы рассмотрим некоторые свойства динамических систем на двумерных поверхностях.

В гл. 12 уже рассматривались динамические системы на цилиндре, правые части которых являются периодическими функциями одного переменного. В целом ряде вопросов встречаются системы второго порядка, правые части которых - периодические функции двух переменных:

гг=Ф(м, V), v = {u, v), (1J

Ф(и + 2п, у = 2л) = Ф(м, V), if)(u + 2n, y + 2n) = il)(u, v)

(период мы всегда, так же как и в случае цилиндра, можем считать равньш 2л). Такую систему естественно рассматривать как систему, заданную иа торе). При этом и, v - циклические координаты на торе (одна и та же точка тора соответствует бесчисленному множеству значений и + 2пл ж v + 2тп, п ж т - целые числа). Кривые и = const ж v = const - меридианы и параллели тора.

Рассмотрим простейшую динамическую систему на торе:

dufdtXi, dv/dt = 12, (2)

Xi ж Х2 - константы, не равные нулю. Заменим систему одним уравнением ):

dv/du = Х2/Х1 = X. (3)

Уравнение его интегральных кривых -

v = Xu + с,

) Тор («бублик») может быть получен от вращения окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости круга, ограниченного окружностью и не пересекающей его. При вращении окружность описывает поверхность тора. Последовательные положения окружности - меридианы тора, ортогональные к ним кривые - параллели.

2) Если = 0, Х2Ф О, то траекториями системы являются меридианы тора, если наоборот, то параллели тора. У системы (2), очевидно, нет состояний равновесия.

3) Когда рассматривается изменение и на 2пл, то траектория обходит тор п раз вдоль параллели, а когда v изменяется на 2тя, то обходит тор т раз вдоль меридиана.

Множество точек всюду плотно на отрезке (или, как в тексте, на меридиане), если в любом сколь угодно малом интервале, являющемся частью этого отрезка (меридиана), непременно найдется хотя бы одна точка этого множества.

) См., например, [108].

где и может принимать всевозможные значения -°°<и<+оо). Так как все траектории могут быть получены из траектории v = ku (соответствующей с = 0) сдвигом вдоль меридиана и параллели, то для установления характера траекторий рассматриваемой динамической системы достаточно рассмотреть траекторию

v = Хи, которую мы обозначили через Lq. Характер этой траектории существенно отличается в случаях, когда X - рационально и иррационально.

I. X - рационально.

Пусть X = т/п. Тогда при и = 2пп мы имеем v = 2тп. Точка с координатами м = 2гел, v = 2mn совпадает с точкой (О, 0), и, следовательно, траектория v = Хи замкнутая (она замыкается после п оборотов вдоль меридиана и т оборотов вдоль параллели). Все другие траектории имеют тот же характер.

II. X - иррационально.

В этом случае траектория Lq заведомо незамкнута. Действительно, для того чтобы она была замкнута, должны существовать такие целые п ж т, чтобы имело место равенство

2пп = 2тХп, или X = т/п,

что невозможно, так как по предположению X иррационально.

Нетрудно видеть, что через п оборотов по и в ту или другую сторону мы получаем для у„ значение у„ = ±2ппХ. Но значениям

V ж V + 2пп соответствует на торе один и тот же меридиан; на этом меридиане точки со значениями v и v + 2пп совпадают. Поэтому вместо v = 2плХ мы будем рассматривать значения

2пХ - 2пЕ(пХ), п>0, -2пп + 2пЕ{пХ), п>0,

где Е{пХ) есть наибольшее целое число, содержащееся в иррациональном числе пХ. Справедливо утверждение: в случае, когда % иррационально, точки пересечения траектории Lq со всяким мериданом всюду плотны) на этом меридиане.

Это утверждение опирается на следующее предложение теории чисел): если X иррационально, то прп любом е>0 можно указать такое целое N, чтобы всякая точка отрезка (О, 1) находилась на расстоянии, меньшем е, от одной из точек

пХ - Е{п, X), n>N.

*) Если одно или несколько значений для dyldx из уравнения (4) обращаются в бесконечность, то, меняя ролями х и г/, мы можем искать значение для dxjdy из соответственно полученного из уравнения (4) уравнения вида

Fi (ж, у, dxidy) = 0.

Из того факта, что в случае К иррационального точки пересечения траектории Lo всюду плотны на всяком меридиане, например на меридиане и = 0, очевидно, следует, что каждая общая точка траектории Lq с меридианом является и а-, и «-предельной для самой траектории, а следовательно, все точки траектории Lo являются и а-, и ю-предельными для самой траектории Lo. Траектория Lo является самопредельной, незамкнутой.

В математической литературе траектория, все точки которой являются а- (о)-) предельными для нее самой, называется устойчивой по Пуассону. На плоскости, на сфере и на цилиндре устойчивая по Пуассону траектория может быть либо состоянием равновесия, либо замкнутой траекторией. Рассмотренная выию траектория Lo на торе при А, иррациональном является примером невозможного па плоскости типа траектории {а- и ю-устойчивой по Пуассону незамкнутой траекторией).

К рассмотрению динамических систем на других поверхностях естественно приводят дифференциальные уравнения, не разрешенные отпосительпо производной.

Пусть

F{x, у, dyldx) = 0 (4)

- такое уравпепие, где при dy/dx = ъ F{x, у, z)- аналитическая функция своих переменных. Очевидно, решением этого уравнения называется аналитическая функция г/ = ф(ж) такая, что имеет место тождество F{x, ф(ж), ф(ж)) = 0. Разрешая уравнение (4) относительно dy/dx, мы можем при одних значениях X, у получить несколько действительных значений для dy/dx, а при других X, i/ - ни одного ®).

Предположим, что при значениях Хо, уо существует конечное число действительных значений Zj. Пусть zio, Z20, ..., zo - эти значения. Если, кроме того, при любой из систем значений Хо, Уо, Z.0 (i= 1, 2, 3, ...)

F{xo, Уо, z.o) = 0, dF(xo, уо, Zio)/dzO, (5)

то уравнение (4) может быть разрешено относительно dy/dx, и в окрестности {хо, уо) мы получим к различных дифференциальных уравнений первого порядка, уже разрешенных относительно производной

dy/dx=U{x, у), i= 1, 2, /с, (6)

где (в силу теоремы о неявных функциях) функции fi{x, у) в окрестности значений {хо, г/о) - аналитические функции. Реше-