5) сепаратрису, идущую пз седла в то же седло, причем в

седле Ос= Рх{Хо,Уо) + Qy{Xo,yo)¥ {о, г/о - координаты седла).

Теорема 6. Если система (А) является системой первой степени негрубости в G, то у нее не может существовать в G двух независимых особых траекторий первой степени негрубости.

Теорема 7. Если система (А) является системой первой степени негрубости в области G, то в G не может быть:

а) сепаратрисы седло-узла, идущей в седло {или из седла);

6) двух сепаратрис седло-узла, являющихся продолжением одна другой;

в) двух сепаратрис седел, одна из которых накручивается на двойной предельный цикл, а другая скручивается с него;

г) сепаратрисы, образующей петлю, на которую накручивается {или с которой скручивается) сепаратриса другого седла.

Мы скажем, что система (А) в области G удовлетворяет условиям Г, если в области G:

A) она пмеет одну и только одну негрубую независимую особую траекторию первой степени негрубостп;

Б) эта особая траекторпя принадлежит к одному из следующих типов:

1) седло-узел;

2) сложный фокус первого порядка;

3) двойной предельный цикл;

4) сепаратриса, идущая из седла в седло, причем если она возвращается в то же седло, то в этом седле

B) сепаратрисы седел и седло-узлов (являющиеся не независимыми негрубыми особыми траекториями) удовлетворяют следующим требованиям:

1) сепаратриса седла не может накручиваться на сепаратрису другого седла, идущую из седла в то же самое седло (или скручиваться в нее);

2) сепаратриса седла не может накручиваться на двойной цикл, если есть сепаратриса, скручивающаяся с него (и наоборот);

3) сепаратрисы седло-узла не могут ни идти в седло, ни являться продолжением одна другой.

Теорема 8. Если система (А) удовлетворяет в области G условиям г, то она является системой первой степени негрубости в G.

§ 7. Динамические системы более высокой степени негрубости. В рассматриваемом случае аналитических динамических систем или в более общем случае, требуя у правых частей динамической системы наличия не менее пяти производных, можно определить динамические системы второй степени негрубости

как системы, релятивно грубые в множестве систем, негрубых и не являющихся системами первой степени негрубости.

Совершенно аналогично можно определить динамические системы 3-й, 4-й, ..., п-й степени негрубости. Определение вводится индуктивно. В рассматриваемом случае динамических систем с ана.т1итическими правыми частями введем определение близости систем (расстояния между двумя системами) до ранга 5, 7, 2п+ 1. Именно, пусть даны системы:

х = Р{х, у), y = q{x, у), (А)

х=Р(х, у), yQ{x, у). (А)

Система (А) называется 8-близкой к системе (А) в C2„+i-to-пологии, если вьшолняются неравенства

\Р{х, у)-Р{х, z/)l<6, 1(0:, y]-Q{x, z/)l<6,

PXu-i{x,y)-Pliu-i{x,y)\<b,

qX- y) - Qlh-i i/) I <

A; = l, 2, 2n+i, r = 0, 1, 2, 2n+i.

Динамическая система (A) называется системой п-й степени негрубости в замкнутой области G, если она является негрубой системой, не являющейся негрубой системой степени, меньшей или равной п - 1, и если она является релятивно грубой в множестве негрубых систем, не являющихся негрубыми системами степени, меньшей или равной п - 1.

Консервативные динамические спсте-мы (см. гл. 7), как уже указывалось, естественно рассматривать как динамические системы бесконечной степени негрубости.

Отметим, что условия, определяющие ту или другую степень негрубостп, являются аналитическими условиями. При

этом топологический характер траекторий в окрестности особой траектории той или другой степени негрубости может п не отличаться от характера траекторий в окрестности некоторой грубой особой траектории или особой траектории меньшей степени негрубости.

Укажем некоторые особые траектории или образования из особых траекторий степени негрубостп выше первой.

1. Состояние равновесия, для которого А = О, аФО, кратности больше двух (т. е. для которого Р2(1, 0) = 0).

Такими состояниями равновеспя являются в гл. 6 состояния равновесия, для которых А = 0, аФО и т>2 (см. [69, 70]).

2. Состояния равновесия, для которых А = О и о = 0. Такие состояния равновесия также могут иметь различную кратность.

Рис. 98

Характер таких состояний равновесия в зависимости от их кратности, а также других определяющих их величин может быть любым из типов, описанных в § 2 гл. 4, а также более сложным (примеры более сложных состояний равновесия см. § 3 гл. 4).

3. Сложный фокус кратности выше первой, т. е. такой, для которого 0 = 0, т. е. ai = 1, а2 = аз = 0, а некоторое a-iO {i>5).

4. Предельный цикл кратности больше двух (см. [7]).

5. Петля сепаратрисы, у которой в седле 0{хо, г/о) (см. [8])

Ос = рх {Xq, у о) + Qy {xq, г/о) = 0.

6. Замкнутый контур, составленный из сепаратрис седел (рис. 98).