Fx(x,Xo) = A[x, -7 =0.

<р(ж)

Таким образом, параметрические уравнения границы между областью одного и трех состояний равновесия даются уравнениями

V(-) ....

» x{\-x)<f\x)

Для Ф{х) имеем Ф(а) = Ф(1) = +оо. Вычисляя Ф{х), нетрудно установить, что Ф(х) обращается в нуль только один раз одновременно с {х) при некотором значении х = х. Это означает, что кривая (11). имеет точку возврата. Кроме того,

dyo/dxo = -{i-x)

есть возрастающая функция х; поэтому касательная вдоль ли-Еши (11) вращается монотонно.

Очевидно, если точка, соответствующая состоянию равновесия, расположена под кривой о*, то для этого состояния равновесия а < О (и значит, узлы и фокусы неустойчивы), если над кривой а*, то а > О (и значит, узлы и фокусы устойчивы).

Если точка, соответствующая состоянию равновесия, лежит на кривой о*, то для нее о = О, и если при этом для нее а > О, то это состояние равновесия - сложный фокус. Так как кривая А* зависит только от параметров Я, и и, а кривая а* - еще и от параметра х, то взаимное расположение этих кривых может быть различным.

На рис. 170 представлены различные возможные случаи, которые мы обсудим ниже.

До сих пор мы имели дело с вспомогательной плоскостью (х, г/о). Однако нашей задачей является также установление разбиения пространства параметров на области с различной качественной структурой. В рассматриваемой задаче естественно рассматривать плоскость параметров {хо, Цо) и ее разбиение при различных значениях параметров х и Я.

Рассмотрим на плоскости {хо, г/о) бифуркационную границу, соответствующую кратным состояниям равновесия. Для этого нужно, исключая ж и г/ из соотношений

Р{х,у)0, Q{x,y) = Q, A{x,y) = PxQl-QxPy = Q, (Ю)

получить соотношения между параметрами xq, г/о. Однако в рассматриваемой задаче это сложно, а между тем параметрические уравнения этой границы могут быть получены просто.

Выражение для г/о нами уже найдено (см. (7)), выражение для Хо мы получим, находя Хо из соотношения

Построенную по этим сведениям кривую на плоскости (xq, уо) будем обозначать через А (рис. 171). Она не меняется при изменении р (этот параметр в уравнения (11) не входит). Точка возврата М соответствует наличию у системы (1) тройного состояния равновесия; все остальные точки кривой А - наличию

Рис. 171

двукратного состояния равновесия типа седло-узла (за исключением одной точки, о которой будет сказано ниже). В заштрихованной области система имеет три состояния равновесия, в не-заштрихованной - одно.

Найдем теперь на плоскости {хо, уо) бифуркационную границу, соответствующую наличию состояния равновесия, для которого а = 0. Для этого нужно исключить а; и г/ из уравнений

Р{х,у)==0, Q{x,y) = 0, а = Pxix,y) + Qy{x,y) = 0.

Так же, как и в случае кривой А*, здесь проще найти из этих уравнений параметрическое уравнение линии, которую будем обозначать через а. Мы получаем

1 n(i~x) + {i + i)x .

0 ф (х)

n{i-x)-

[ХЖ(1-1)ф (х)

Первое из этих выражений, очевидно, есть уравнение кривой а* (на плоскости {х, уо)). Функция g{x) имеет, как нетрудно показать, только один экстремум - минимум (см. приложение III).

В дальнейшем мы будем сопоставлять поведение кривых А* и о* на илоскости {х, уо) с поведением кривых А и а на плоскости {Хо, Уо).

Нетрудно видеть, что кривые А* и а* пмеют общую точку при x = i. Кроме того, мы получаем в уравнениях (7) и (9) одинаковые значения для х ш уо при значении

х* =

*) При переходе (с изменением ц) от случая с отсутствием самопересечения к случаю с наличием самопересечения существует значение ц, при котором у кривой а есть точка заострения, лежащая на кривой Д.

Так как х меняется от 1 до 0°, то, очевидно, значение х* будет меняться от О до 1; при этом, однако, это значение будет соответствовать общей точке кривых Д* и о*, когда х* > х\ (Д* и о* лежат над осью х, о. х\ - общая левая точка кривой Д* с осью х).

При возрастании х до оо общая точка кривых о* и Д* будет двигаться по кривой Д* вплоть до точки (1, 0). Считая и п Я фиксированными, укажем некоторые случаи расположения кривых Д* и о* на плоскости {х, г/о) и соответствующее им расположение кривых Д и о на плоскости (So, Z/o) (кривые семейства (3) и кривая (11) при этом остаются неизменными, меняется только кривая о*).

1) При р, близком к 1, кривая о* целиком лежит под кривой Д*; 0 = 0 только в седле. Узлы и фокусы (им соответствуют на плоскости (ж, г/о) точки над кривой Д*, а значит, в рассматриваемом случае и над кривой о*) устойчивы.

2) Пусть рассматриваются такие х, при которых у кривых Д* и о* общая точка Ш* существует, но максимумы кривых Д* и о* лежат справа от этой точки (штриховая часть линии о*, лежащая под Д*, очевидно, соответствует седлам с 0 = 0; см. рис. 170,а). Для линии о на плоскости {хо, г/о) самопересечение отсутствует (см. приложение IV). При х = х* у кривых о и Д есть общая точка М*, в которой эти кривые касаются (это можно проверить непосредственно по уравнениям этих кривых, а также вытекает из общей теории, см. гл. 11). Этой точке соответствует двукратная точка с о = 0. Точкам кривой Д по одну сторону от точки М* соответствуют системы, имеющие седло-узел с устойчивой узловой областью, по другую сторону от точки М* - с неустойчивой узловой областью. Сплошной части кривой о соответствует наличие у системы сложного фокуса, штриховой-седла 0 = 0 (см. рис. 171, а).

3) Абсцисса общей точки А* и о* х*<.х (х - абсцисса максимума Д*), но максимум а* лежит снаружи от кривой А* (см. рис. 170, б). Па плоскости {хо, г/о) кривая а имеет, как нетрудно видеть, самопересечение и общую точку М* с кривой А ) (рис. 171,6). Отметим при этом, что, опираясь на монотонность поворота касательной вдоль кривой Д и кривой о, можно показать, что кривая а может иметь с верхней частью кривой А не более двух общих точек пересечения. При этом эти точки не соответствуют системам, имеющим двукратное состояние равновесия с 0 = 0, а соответствуют наличию у системы седло-узла и фокуса с 0 = 0. (Эти общие точки Д и о соответствуют на кривых А и о различным значениям х.)