Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [ 95 ] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

Так как значения Хг, удовлетворяющие условиям Xi-as - = а5 = а? = О, должны обращать в нуль и функции Uk{2n, Xi) при к>7, то Uk можно представить в виде

и{2п, Xi) = ЯД" + ссзе> + ссД> +

+ 24 (3 - б) (3-6 - 2X1 - г) 9ft-

Отметим, что в выражение для а? множитель {Х - Хб) входит в квадрате. Можно показать, что 6 для любого к>7 содержит множитель (Xz - Xe) [...]. Это позволяет ввести в выражение для Uk{2n, Xi) третью ляпуновскую величину аг и представить функцию последования (1) в виде

Р - Ро = Ро (2nA,ii3i + a-sPl + ъ%Ро + «77?

где i)3 -ряды по степеням ро с коэффициентами в виде целых функций параметров Xi и такие, что

ti(Xi,o)=l+Xi9(Xi), гр,(Я.-, 0)=1, j¥=i.

В достаточно малой окрестности начала координат положительные простые корни уравнения

2nXi + азр2 + asp + атр = 0 (3)

с любой точностью аппроксимируют корни (2) при р = ро.

Рассматривая (2) и (3), нетрудно увидеть, что в окрестности состояния равновесия (вблизи границы области устойчивости)

в зависимости от знаков ляпуновских величин может быть не более трех предельных циклов [14, 69]. Особенности в поведении системы (А) вблизи тех точек границы области устойчивости, где обращаются в нуль первая и вторая ляпуновские величины, определяются знаком третьей ляпуновской величины ат. В возможностях, которые здесь возникают, можно ориентироваться, рассматривая функцию последования (2) и уравнение (3).

На рис. 155А для «7 > О представлена окрестность точки пространства параметров, в которой выполняются условия Xi = = аз = CCS = 0. Область устойчивости состояния равновесия в начале координат располагается снизу от плоскости Xi = 0. Граница области устойчивости я1 = О разбивается на куски, помеченные на рисунке цифрами О, 1, 2, соответственно числу предельных циклов в окрестности состояния равновесия при значениях


Рис. 155А



параметров на границе области устойчивости. Эти куски выделяются условиями:

0) as>0 или а5<0, аз>/(а5, а/);

1) аз<0 или аз = 0, а5<0;

2) а5<0, 0<аз</(а5, а?).

Функция /(«5, а?) в окрестности значения «5 = 0 имеет асимптотическое представление

lA%(0,a,)]-allAa,ral. (4)

В кусках О ж 2 состояние равновесия неустойчиво, па куске 1 устойчиво.

При изменении Ki от значения Xi = О может появиться из состояния равновесия еще один предельный цикл: при возрастании Xi от значения ki, взятого па куске 1, появляется устойчивый предельный цикл, при убывании ki от значения ki = О, взя-


Рис. 155Б

того па кусках О или 2,- неустойчивый. Возможные качественные структуры в окрестности состояния равновесия для слзп1ая а? > О представлены па рис. 155Б.

На рис. 155В представлено для а? < О разбиение границы области устойчивости = О в окрестности точки аз = «5 = 0. Граница области устойчивости ki = О разбивается па куски О, 1, 2 соответственно числу предельных циклов в окрестности состояния равновесия, выделяемых условиями:



0) «50 или as > О, аз < / (as, а?);

1) аз>0 или аз = 0, as>0;

2) as>0, /(as, а7)<аз<0.

Функция /(as, ат) в окрестности значения as = О имеет асимптотическое представление (4). На кусках О и 2 состояние

равновесия устойчиво, на куске 1 неустойчиво.

Нрп убывании Xl от значения Xl = О, взятого на куске 1, появляется из состояния равновесия неустойчивый предель-HHii цикл, при возрастании Xi от значения Xi = О, взятого на кусках О илп 2, появляется цикл устойчивый. Возможные качественные структуры в окрестности состояния равновесия для случая а/ < О представлены на рпс. 155Г.

2. Квадратичные системы с четырьмя предельными циклами. Примеры квадратичных систем с четырьмя предельными циклами


Рис. 155В


Рис. 155Г

были даны в работах [62, 66]. Топология этих систем одинакова: седло на экваторе сферы Пуанкаре и два простых фокуса па плоскости с распределением предельных циклов вокруг фокусов




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [ 95 ] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0124