отличное определение грубости, данное Пейксото (см. [156,157]), которое мы здесь приведем.

Это определение также было дано в предположении, что граница области G, в которой рассматривается система (А), является циклом без контакта.

Определение П (грубости динамической системы без е-тождественности). Система (А) является грубой в области G (ограниченной циклом без контакта), если существует такое б>0, что всякая динамическая система (А), б-близкая к (А), имеет в области G ту же качественную структуру, что и система (А).

Очевидно, что если система груба в смысле определения I, то она является грубой и в смысле определения II. Обратное не очевидно. Однако Пейксото [157] показано, что необходимые и достаточные условия грубости в смысле определения II совпадают с необходимыми и достаточными условиями грубости в смысле определения I. Определение II имеет следующее преимущество: непосредственно из этого определения вытекает тот факт, что грубые системы в пространстве динамических систем заполняют области. При определении I этот факт нужно доказать, опираясь на необходимые и достаточные условия грубости.

В настоящее время широко используется определение грубости динамической системы на двумерных (и многомерных) многообразиях, а также определение грубости диффеоморфизмов многообразий (точечных отображений) без е-тождественности (см. список литературы в [111]). При этом используется не термин «грубость», а термин «структурная устойчивость».

Рассмотрение условий грубости динамических систем на поверхностях выходит за рамки настоящей книги (см. [14-18, 111]).

ГЛАВА 9

ПРОСТЕЙШИЕ НЕГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ - СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ

§ 1. Общие замечания. При исследовании динамических систем, соответствующих физическим задачам, нельзя ограничиться только одним понятием грубой динамической системы. При этом не только потому, что при некоторых идеализациях имеет смысл рассматривать негрубые системы, например консервативные, а прежде всего потому, что при изменении параметров, входящих в динамическую систему, мы можем перейти от одной грубой системы к другой, качественно отличной грубой системе. Такой переход всегда совершается через негрубую динамическую систему. Отсюда естественно вытекает задача рассмотрения негрубых динамических систем и их классификации. С этим вопросом тесно связана теория зависимости качественной картины разбиения на траектории от параметра, которую мы будем называть теорией бифуркаций динамических систем.

Отметим, что рассмотрение возможных бифуркаций (т. е. возможных изменений качественной структуры разбиения на траектории в зависимости от изменения правых частей динамической системы) дает в руки приемы эффективного исследования качественной структуры.

В настоящем параграфе дается определение простейших негрубых систем, которые названы системами первой степени негрубости. Приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы система была системой первой степени негрубости (см. [6, 9, 10]).

§ 2. Системы первой степени негрубости. Пусть, как и всюду выше, рассматривается динамическая система

£ = Р{х, у), y = Q{x, у), (А)

правые части которой - аналитические j[)yнкции ж и г/ в некоторой ограниченной замкнутой области G плоскости {х, г/)).

) Понятие динамической системы первой степени негрубости, так же как и понятие грубости, может быть дано при более общих предположениях относительно правых частей. Однако, как и всюду, мы предполагаем правые части аналитическими ввиду того, что этот случай является наиболее интересным с точки зрения приложений.

2) Определение динамической системы первой степени негрубости, так же как и определение грубой динамической системы, б ь1ло сначала дано в предположении, что граница рассматриваемой области G является циклом без контакта для траекторий системы (А). При этом предположении определение значительно упрощается. Однако это определение, так же как и определение грубости, может быть с соответствующими изменениями (полностью аналогичными тем, которые были сделаны при определении грубой системы) дано и без каких-либо частных предположений относительно расположения траекторий системы (А) по отношению к границе.

Так же, как и при определении грубой динамической системы, мы будем предполагать, что граница областп G является циклом без контакта для траекторий системы (А).

Будем наряду с системой (А) рассматривать всевозможные измененные системы

х = Р{х, у), y = Qix, у), (А)

определенные в той же области G, что и система (А), с правыми частями, также являюп];имися аналитическими функциями X ж у. При введении понятия системы первой степени негрубости по самому смыслу понятия естественно использовать другое определение близости двух динамических систем, чем при рассмотрении грубых динамических систем (см. по этому поводу § 8 гл. 8).

PbieHHO, будем говорить, что система (А) Ь-близка в области G к системе (А) до ранга 3, если выполняются неравенства

\Р{х, у)-Р{х, z/)l<6, \Q{x, y)-Q{x, z/)l<6,

Plu-iyi{x, j/)-PVv(J/)<6

Qlk-iyi {x, y) - Qlu-iyi ix,y)\<8,

A; =1,2,3, j = 0,1,2,3, k>i

(т. e. если близки и сами функции Q{x, у), Q{x, у) и Р{х, у), Р{х, у), п пх производные до третьего порядка включительно).

В дальнейшем мы будем для краткости опускать слова «в области G»).

Определение III. Динамическая система (А) называется системой первой степени негрубости в области G, если она не является грубой в G и если для всякого е > О найдется б > О такое, что, какую бы систему (А), негрубую в G и б-близкую до ранга 3 к системе (А), мы ни взяли, существует топологическое отображение области G на себя, при котором траектории системы (А) и (А) отображаются друг в друга, и соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем е.

В силу определения III динамические системы первой степени негрубости являются, очевидно, системалш релятивно грубыми в множестве негрубых систем.