Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [ 139 ] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

рис. 215. На рис. 217 теми же цифрами, что и на рис. 216, отмечены грубые качественные структуры, соответствующие различным областям фазового пространства. Негрубым структурам на


рис. 217, помеченным двумя цифрами, соответствуют бифуркационные кривые рис. 216, разделяющие соответствующие области (и соответствующие двойным циклам).

§ 4. Система со скачками на линии сшивания. Рассмотрим уравнение [126-128]

q> + 2h[l-bF{(f)](f+F{(f) = Q, F {ц, + 2л) = F {(f), (1)

в предположении, что характеристика (ф) имеет разрывы типа конечного скачка.

Пусть ффо -одна из точек разрыва. Эквивалентная уравнению (1) система

Ф = у, y=.Q-F{(f)-2h[l-bF((f)]y

не определена на прямой ф = фо. Поэтому движение изображающей точки системы при попадании ее на эту прямую нуждается в доопределении. Естественно получить его следующим образом. В интервале (фо -р., фо + р,) заменим характеристику F(<p) прямой, соединяющей точки [фо - р, (фо - 0) ] и [фо -Ь р., 7 (фо + 0) ]. Тогда на фазовой плоскости в полосе фо -р.<Ф<фо + М вместо



системы (2) будем иметь систему

./: - 2ау -

а; = ф-фо, p=.F(фo-0)-Q, f = F(фo + 0)-Q,

» = .(i + .ti).

На одной из прямых а; = d= р зафиксируем какую-нибудь точку с ординатой г/о- Может оказаться, что полутраектория х = = x{t, р), y = y{t, р) системы (3), начинаюш;аяся при t = 0 в. этой точке и проходяш;ая внутри полосы, при всех достаточно малых р вновь выходит из полосы при некотором f = i(p) в некоторой точке с координатами x = \i, г/==г/(р) (или а; = - р, У = 2/(1))• В этом случае примем такое доопределение: изобра-жаюш;ая точка системы (2), попав в точку (ф = фо, у = Уо), находится на прямой ф = фо в течение времени t, равного пределу f (р) при р О, после чего продолжает движение при ф >фо (илп Ф<фо) в соответствии с системой (2) при начальных условиях ф = фо, !/ = lini!/(p) при р 0. Если же рассматриваемая полутраектория системы (3) при всех достаточно малых р целиком лежит в полосе, то примем такое доопределение: изображающая точка системы (2), попав в точку (ф = Фо, У = Уо), остается на прямой неограниченно долго. Ситуации, которые представятся



Рис. 218

при вычислениях, исчерпываются двумя указанными. Уравнение движения изображающей точки по прямой ф = фо в обоих случаях получим предельным переходом в уравнениях рассматриваемой полутраекторпи системы (3): у = Y{t) = limy(t, р) при р 0.

Перейдем к вычислениям. Выделим на прямой а; = - р полупрямые (рис. 218)

и{х = -[I, у = и>0}, Ui{x=-n, y = - ui<0}



И на прямой х = \1 полупрямые

V{x = p., г/ = г;>0), Viix = y = -Vi<0}.

Траектории системы (3) осуществляют точечные преобразования полупрямой и в полупрямые V и U\. Назовем их соответственно преобразованием Т и преобразованием S. Параметрические уравнения функции соответствия будут для преобразования Т

2(0 [г 2щц

Р [ cth ют -Ь

ехр {ат} sh мт

для преобразования S 2мр,р i-V

2щрр,

r-4=-v(cthcoT-il sh (ВТ 1 со у

и, =

с1Ьюе+ -ЩШ

со sh соО

со sh соО

Здесь т и 9 - параметры (время перехода изображающей точки системы (3) с полупрямой U соответственно на полупрямую V или Ul).

Рассмотрим случаи.

I. Y < О < Р, г = 2bh > 0. Состояние равновесия (3) есть седло, расположенное внутри полосы -р,<х<\1. Соответствующая картина фазовых траекторий приведена на рис. 218, а.

Пусть Цо - отрезок, отсекаемый на полупрямой U сепаратрисой, имеющий отрицательный наклон. Величина uo при р, -*

0. Поэтому, какую бы точку и на интервале и > ни фиксировать, при достаточно малых ]х она участвует в преобразовании Т. При этом первое из равенств (4) неявно определяет функцию т = т(l)- время перехода из фиксированного и на полупрямую У. Ее предельное значение при рО (приложеиие 1) есть

г In [гу/(гр-м)],

rp<u<r(P-Y), цг(Р-у).

Во втором из равенств (4) положим т = т(l) и найдем lim г; [т(l), i] при ц ~*" О- Это предельное значение (приложение И) есть

О, rP<u<r(p-Y),

U-r(p-Y), u>r(p-Y).

Фиксируем теперь какую-нибудь точку на интервале и < г. При малых р она участвует в преобразовании S. При этом пер-




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [ 139 ] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0105