") Очевидно, состояние равновесия может быть орбитно-устойчивым (именно таким является состояние равновесия, в любой сколь угодно малой окрестности которого есть замкнутая траектория, содержащая его внутри).

Таким образом, особая траектория, не являющаяся состоянием равновесия, непременно орбитно-неустойчива хотя бы «в одну сторону», т. е. она может быть орбитно-неустойчивой при +0°, или орбитно-устойчивой при f - оо, или орбитно-неустойчивой

и при f -> + оо и ири f -> - оо

Свойство орбнтной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой иолутраектории или траектории не самой по себе, а по отнощению к близким полутраекториям и траекториям.

Пример. Геометрически очевидно, что всякая иолутраек-тория, стремящаяся к состоянию равновесия тина узла или фокуса, орбитно-устойчива. Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми, траекториями очевидно будут траектории, стремящиеся при t + <х> и - оо к узлам или фокусам или при f -> 4- оо -> - оо) стремящиеся к узлу, а при t- - оо (f->-foo)-к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и ири t + оо, и при i - оо.

Очевидно, имеет место следующая

Теорема 9. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области G, тождественны, т. е. существует топологическое отображение области в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые - в орбитно-не-устойчивые.

§ 7. Возможные типы особых и неособых траекторий. Приведем основные общие теоремы об особых траекториях.

Теорема 10. Всякая траектория, являющаяся предельной для какой-либо отличной от нее траектории, является особой, т. е. орбитно-неустойчивой.

Действительно, если траектория Lo является «-предельной для отличной от нее траектории L, то в случае, когда Lo - состояние равновесия, на L заведомо существуют точки, находящиеся на не равном нулю расстоянии от Lo, а в случае, когда Lo не является состоянием равновесия, то на L также существуют точки, лежащие на не равном нулю расстоянии от Lo (в силу теоремы 5), т. е. траектория L либо при возрастании t, либо при убывании t выходит из некоторой ео-окрестности Lo.

§ 81 СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 53

Теорема 11. Незамкнутая полутраектория L""", имеющая среди своих предельных точек отличные от состояния равновесия, орбитно-устойчива.

Теорема 12. Замкнутая траектория L является орбитно-устойчивой тогда и только тогда, когда через точки сколь угодно малой ее окрестности, лежащие как внутри L, так и вне L, проходят отличные от L замкнутые траектории {так что траектория L не является предельной ни для одной незамкнутой траектории).

В теоремах И и 12 рассмотрены полутраектории типа 2), 4) и 5) § 5. Пусть L-полутраектория типа 3), т. е. полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия, тогда:

Полутраектория L+, стремящаяся к Р*-

состоянию равновесия, яв.пяется орбитно-

неустойчивой в том и только в том случае, когда существует отрицательная полутраектория L~, стремящаяся при t - °о к тому же состоянию равновесия, которая вместе с полу траекторией L"*" ограничивает седловую область (рис. 27).

Орбитно-неустойчивая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия (безразлично, простому или сложному), называется сепаратрисой. В случае, когда сепаратриса является положительной полутраекторией, она называется (о-сепаратрисой; в случае, когда она является отрицательной полутраекторией,- а-сепаратрисой.

Приведенные теоремы позволяют сделать исчерпывающие заключения относительно того, какие полутраектории, а следовательно, и какие траектории орбитно-неустойчивы. Именно, всякая орбитно-неустойчивая (т. е. особая) траектория принадлежит к одному из следующих типов:

1) состояние равновесия;

2) предельный цикл;

3) незамкнутая траектория, у которой хотя бы одна полутраектория является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия.

К числу особых траекторий причисляются все состояния равновесия (даже в том случае, когда они орбитно-устойчивы, как, например, вслучае, когда состояние равновесия есть центр).

§ 8. Случай конечного числа особых траекторий. Элементарные ячейки. Будем теперь рассматривать систему (А) только в ограниченной области плоскости G). Предположим, что оисте-

Совершенно аналогичное рассмотрение может быть проведено на сфере Пуанкаре (см. гл. 6) в случае, когда правые части системы (А) - многочлены.

Это всегда имеет место в случае, когд правые части системы - функции, аналитические в замкнутой области G, а также в рассмотренном дальше случае «грубых систем» и систем любой конечной степени «негрубости». Конечность числа сепаратрис вытекает из результатов Бенднксона [48]. Утверждение о конечности числа предельных циклов восходит к работам Дюлака [146]. Позднее Ю. С. Ильяшенко обнаружил, что из рассмотрений Дюлака прямо не следует его утверждение о конечности числа предельных циклов. Р. Бамон (список дополнительной литературы [49]) доказал конечность числа предельных циклов для ге = 2. На Ломоносовских чтениях 1986 года Ю. С. Ильяшенко анонсировал аналогичный результат для всех п.

ма (А) в области G имеет только конечное число особых траекторий и иолутраектории ).

Особые траектории разделяют область G на частичные области, точки которых являются точками неособых (орбигно-устой-чивых) траекторий. Граница каждой такой частичной области состоит из точек особых траекторий и точек, граничных для области G. Мы ограничимся здесь рассмотрением таких областей, в границу которых не входят граничные точки G. Такие области будем называть элементарными ячейками (или просто ячейками). Очевидно, ячейки состоят из целых орбитно-устойчивых (т. е. неособых) траекторий. Нетрудно видеть на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, что граница всякой ячейки состоит из целых особых траекторий. Точки одной и той же особой траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. На основании того, что число особых траекторий конечно, нетрудно показать, что число ячеек в области G конечно.

Более детальное изучение поведения неособых траекторий одной и той же ячейки опирается на следующие вспомогательные предложения, вытекающие из определения орбптной устойчивости и предложения о конечном числе особых траекторий.

I. Вокруг каждой точки орбитно-устойчивой полутраектории стремящейся к состоянию равновесия О, всегда можно указать такую окрестность, чтобы все проходящие через точки этой окрестности траектории были орбитно-устойчивыми ири t + <х> и стремились к тому же состоянию равновесия О, что и

II. Вокруг каждой точки иолутраектории имеющей отличную от состояния равновесия предельную траекторию, всегда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитно-устойчивы при t- + оо ж ири t + оо имеют то же предельное множество, что и

III. Вокруг каждой точки замкнутой орбитно-устойчивой траектории существует такая окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории замкнуты и одна лежит внутри другой.