Опираясь на эти вспомогательные предложения, можно доказать ряд теорем, полностью характеризующих поведение траекторий одной и той же ячейки.

Теорема 13. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же ©- и а-предельные множества.

Теорема 14. Если внутри какой-нибудь ячейки существует хоть одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке.

Установленные в теоремах факты можно наглядно охарактеризовать словами: внутри каждой ячейки неособые траектории ведут себя одинаковым образом.

Особые траектории являются либо предельными, либо разделяющими.

§ 9. Возможные типы ячеек. Односвязные и двусвязные ячейки. Естественно возникает вопрос о возможных типах элементарных ячеек. Именно, так же, как о топологической структуре разбиения области G (или замкнутой области G) на траектории системы (А), можно говорить о топологической структуре ячеек

Рис. 28

(рассматриваемых без границы или с границей). Основной топологической характеристикой всякой области является число связности *).

") Граница всякой ограниченной области может состоять либо из одного связного куска - «граничного континузша», т. е. замкнутого связного множества, либо из двух, трех и т. д. граничных континуумов (либо из бесконечного числа граничных континуумов, но этот случай не представляет для нас интереса). Если граница области состоит из одного граничного континуума, то область называется односвязной, если из двух, трех и т. д., то область соответственно называется двусвязной и т. д., один из граничных континуумов называется внешним граничным континуумом, остальные - внутренними.

Имеет место

Теорема 15. Всякая ячейка не более чем двусвязна. Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двусвязны.

Это неносредственно следует из теоремы 14 и того факта, что внутри замкнутой траектории всегда лежит состояние равновесия. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями, могут быть как односвязными, так и двусвязными.

Приведем (без доказательства) еще следующую теорему, касающуюся свойств границ двусвязной ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями.

Теорема 16. В случае, когда ячейка, заполненная незамкнутыми траекториями, двусвязна, один из ее граничных коити-

Рис. 29

нуумов является а-пределъным, а другой - (о-пределъным множеством для траекторий этой ячейки.

Примеры (геометрические) односвязных ячеек даны на рис. 28*). Примеры двусвязных ячеек даны на рис. 29. Жирными линиями на этих рисунках обозначены особые траектории, входящие в границы ячеек (см. также рисунки грубых ячеек в гл. 8).

§ 10. Два подхода к описанию качественной структуры. Разделение на ячейки определяется взаимным расположением особых траекторий динамической системы.

Если кроме разделения на ячейки известно поведение траекторий внутри каждой отдельной ячейки, то естественно считать,

Отметим, что в примерах ячеек рис 28 границы ячеек имеют довольно сложный характер Все точки граничных цигаов в первой ячейке рис. 28 и «восьмерки» второй ячейки являются так называемыми недостижимыми точками границы (не существует простой дуги, концом которой являлась бы точка этой границы, а остальные точки принадлежали бы ячейке).

что ЭТИМИ сведениями топологическая структура разбиения на траектории определяется полностью (это может быть доказано).

Однако к вопросу определения топологической структуры разбиения на траектории можно подойти также с несколько другой точки зрения, непосредственно не привлекая с самого начала рассмотрения ячеек.

Именно, для установления топологической структуры разбиения на траектории в первую очередь естественно исследовать характер состояний равновесия (ниже это понятие уточняется), что даст, в частности, и сведения о числе сепаратрис и их расположении вокруг каждого отдельного состояния равновесия; затем установить число и взаимное расположение предельных континуумов, в частности предельных; циклов, и, наконец, установить расположения сепаратрис, не являюпдихся предельными, т. е. для каждого состояния равновесия установить, к какому предельному множеству стремится сепаратриса этого состояния равновесия соответственно при t +оо п t

Указанный второй подход к определению топологической структуры разбиения на траектории (путем определения характера состояний равновесия, взаимного расположения предельных континуумов и хода сепаратрис) представляется наиболее рсте-ственным, так как он адекватен тому подходу, которым фактически проводится качественное исследование в тех случаях, когда существующие методы позволяют это сделать (см. ч. III).

Одним из основных элементов схемы является указание характера состояния равновесия. При этом исследование характера состояний равновесия является наиболее доступным из тех сведений, которые нужны для получения схемы. Кроме того, исследование характера состояния равновесия в ряде вопросов может иметь самостоятельный интерес. Мы остановимся поэтому несколько подробнее на некоторых фактах, касающихся состояний равновесия.

§ 11. Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы. Внося точный смысл в интуитивно ясное понятие качественной (топологической) структуры состояния равновесия, прежде всего нужно отчетливо сформулировать различие между собственной, или локальной, окрестностью состояния равновесия и областью, которая уже не является собственной окрестностью состояния равновесия. На рис. 30, а область внутри окружности, содержащая одно только состояние равновесия, очевидно, не является его собственной окрестностью, в то время как на рис. 30, б соответствующая область является собственной окрестностью состояния равновесия.

Определение. Мы скажем, что изолированное состояние равновесия О имеет определенный характер (или определенную