дельному циклу, охватывающему цилиндр (рисунок соответствует случаю малых h\ и ftg).

При дальнейшем возрастании h\ асимптота кривой S\ поднимается, сама кривая S\ деформируется, а точка пересечения кривых si и S3 перемещается вдоль кривой з. Покажем, что при этом неизбежно возникает соприкосновение кривых, соответствующее слиянию устойчивого и неустойчивого предельных циклов, охватывающих цилиндр.

Покажем сначала, что кривые Si{S2) и 83(82) для больших h\ расходятся и не имеют точек пересечения.

Систему в области 2 можно записать в виде

f = ±-2fe,e(.,,)-2fe,.

В полосе -f я/2 <а; < Зл/2, г/> (я - я/2)/(22) (выше изоклины горизонтальных наклонов) интегральные кривые будут иметь но-ложительный наклон. Пусть е+ и е- соответственно наибольшее и наименьшее значение г{х, у) в полосе, ограниченной снизу значением у = у*. Легкв проверить, что для любой траектории в полосе будет

ЯЕ - 2/12Я < г/ - I/ (-у ) ~" 2*2 2 <0.

и е+, е О при у* <». Смещение по координате у при движении по траекториям в области 2 (от г/(я/2) до г/(Зя/2) или в обратном направлении) при фиксированном /12 будет величина, ограниченная, стремящаяся к \2nh2\ при у{п12)-<х>.

Систему в области 1 можно записать в аналогичном виде;

dx у 1

В полосе -я/2<а;<я/2, у > {а +п/2)1 {2к\) (выше изоклины горизонтальных наклонов) интегральные кривые будут иметь отрицательный наклон. Легко убедиться, новторяя приведенные рассуждения, что смещение по координате у при движении по любой траектории в области 1 в рассматриваемой полосе может быть сделано за счет выбора hi сколь угодно большим и, в частности, превосходящим наибольшее смещение, возможное при движении по траекториям в области 2.

Очевидно, что при выполнении этого условия, траектория, проходящая через точку [я/2, (я/2-Ь я) (0)2 -/12) ] (продолжающая в область 1 при убывании t ш-сепаратрису седла), должна уходить в бесконечность, и предельных циклов на верхнем полуцилиндре в этом случае заведомо нет, т. е. кривые 83(82) и 82(82) не имеют общих точек.

С учетом знаков второй производной для 81(82) и 83(82) есть лишь две логические возможности для расхождения кривых:

а) точка пересечения кривых 51(52) и 83(82) с возрастанием hi перемещается вдоль кривой 5з, совпадает с точкой А на конце кривой 5з и соскальзывает с конца кривой;

б) точка А ионадает на кривую 5i (52) до того, как точка пересечения совпадает с точкой А. При этом с дальнейшим возрастанием hi возникает две точки пересечения кривых 5i (52) н 5з(52). Из точки А возникают точка пересечения, соответствующая неустойчивому предельному циклу (характер устойчивости определяется взаиморасположением кривых). С возрастанием h\ точки сближаются, сливаются в момент соприкосновения кривых (этому моменту соответствует возникновение полуустойчивого предельного цикла) и затем исчезают.

Какая пз этпх возможностей реализуется, можно определить по знаку седловой величины. Так как величина Рх+ Qy в седле О2 имеет значение -22 > О, то из нетли сепаратрисы седла может появиться или к ней стянуться только неустойчивый предельный цикл. Так как, с другой стороны, попадание точки А на кривую 5i (52) соответствует появлению нетли сепаратрисы седла О2, то, следовательно, при возрастании hi реализуется вторая возможность. При возрастании hi от значения hi = - hi последовательно осуществляются бифуркации:

а) появленпе устойчивого предельного цикла из бесконечности;

б) появленпе неустойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла;

в) слияние устойчивого и неустойчивого предельных циклов с последующим их исчезновением.

§ 2. Следящая система с люфтом. Рассмотрим простейшую следящую систему с люфтом в контактном устройстве и в зубчатом зацеплении, описываемую безразмерным уравнением [152]

х + х = 8(х,х), (1)

где ж - координата сервомотора и S(x, х) - кусочно-постоянная (характеризующая безразмерную э. д. с. и сухое трение в системе). Общеизвестным приемом при исследовании точечных преобразований является представление и исследование точечного преобразования в параметрической форме, где в качестве параметра вводится время пробега изображающей точки по траекториям системы между точками сшивания.

Особенностью рассматриваемой задачи является возможность другого эффективного параметрического представления точечного преобразования с введением в качестве параметров некоторых отрезков в фазовом пространстве. Этот прием имеет значение, выходящее за рамки рассматриваемой задачи.

Разбиение плоскости (х, х) на области, где С(х, х) сохраняет постоянное значение, производится в зависимости от двух пара-

-1-г

метров и Z, характеризующих соответственно люфт в контактном устройстве п люфт в зацеплении.

Запишем уравнение (1) в виде системы

х = у, y = S{x, у)-у (2);

и будем рассматривать фазовые траектории на плоскости {х, у). Разбиение фазовой плоскости на траектории будет симметрично относптельно начала координат, если за начало отсчета принять середину максимального интервала длиной z + k, который сервомотор может пройти по инерции. На рис. 210 изображено разбиение плоскости {х, у) на десять областей, где S{x, у) сохраняет постоянные значения, указанные на рисунке. Полосы шириной уо, примыкающие к оси х сверху или снизу, соответствуют выбиранию сервомотором люфта в зубчатом зацеплении, и для них соответственно S{x, y)=i или S{x, y) = - i (сухим трением при свободном движении сервомотора пренебрегаем). Полосе шириной к, содержащей внутри ось у, соответствует выбирание сервомотором совместно со следящей осью люфта в контактном устройстве при движении по инерции. Здесь S{x, у) = -г или S{x, у) = г характеризует твердое трение в системе. На других участках фазовой плоскости величина S{x, у) имеет значение ± 1 ± г, где знаки выбираются в зависимости от знака скорости и знака включенной э. д. с, или О, если люфт в зацеплении проходится по инерции. Величина уо - максимальная скорость, до которой разгоняется сервомотор, выбирая люфт в зацеплении,- есть однозначная функция параметра z и определяется уравнением

Рис. 210

z-f 1/о + 1п(1-1/о)=0.

Это уравнение получается, если в (2) положить S{x, г/)=1 и потребовать для решения системы (2) вьшолнения условий х = = - о, y-=0;x-xo+z, г/ = г/о.

Построим точечное преобразование в себя полупрямой L: у = 0, x< - {z + k)j2, примыкающей слева к отрезку покоя: г/= = 0, -{z + k)l2<.x<.{z + k)l2. Так как фазовое пространство симметрично относительно начала координат, то задача сводится к построению точечного отображения полупрямой L в симметричную полупрямую L, примыкающую к отрезку покоя справа.

Рассмотрим траекторию в верхней полуплоскости, сшитую из четырех кусков, начинающуюся в точке (- и, 0) и заканчиваю-