деляет качественную картину разбиения фазового пространства. Качественная картина на любой кривой as = к для достаточно больших S представлена на рис. 173, 0.

3. Качественные картины фазового пространства п возможные бифуркации при О < р < 1. Кривые к соединяют области пространства параметров, соответствующие структурам, представленным на рис. 173,1 и 173,0. Прп возрастании s вдоль А;-кривых точки Pi и Р2 на пересечении прямой ф = arcsin с а- и (о-сепаратрпсамп седла на верхнем полуцилиндре монотонно сближаются, совпадают при некотором значенпи s = so(A;) (соответственно а = ай{к)) (рис. 173, i-2) и затем монотонно расходятся. Множества точек so(A;), ао{к), соответствующие негрубой бифуркационной структуре, для которой а- и «-сепаратрисы седла образуют петлю на верхнем полуцилиндре (Pi и Рг совпадают), образуют в пространстве параметров непрерывную кривую L. Каждая -кривая пересекает в одной точке кривую L.

Прп переходе через значение s, соответствующее пересечению кривых L я к, возникает и затем разрушается петля сепаратрисы на верхнем полуцилиндре, и прп этом пз петли сепаратрисы появляется устойчивый предельный цикл, так как седловая величина (Рф + Q = - lajs отрицательна (см. рис. 173,2). При дальнейшем возрастании параметра s вдоль -кривых предельные циклы монотонно сближаются. Так как предельных циклов для структуры на рпс. 173, О нет, то существует на каждой -кривой точка с координатами s{k), а*(к), для которой устойчивый и неустойчивый предельные циклы сливаются, образуя полуустойчивый предельный цикл.

Соответствующая негрубая бифуркационная структура представлена на рпс. 173,2-0. Множество точек sik), а (к) образует непрерывную Z/-кривую в пространстве параметров, пересекающуюся с каждой из -кривых в одной точке. Последовательность качественных структур прп возрастании s вдоль -кривых представлена на рис. 173 последовательностью грубых структур 1, 2, 0. Негрубые структуры, соответствующпе бифуркационным значениям параметров, обозначены двумя цифрами, указывающими на грубые структуры, которые они разделяют.

Замечание. Качественные структуры, промежуточные между структурами 173, i и 173, О, определяются лишь с точностью до дополнительного четного числа предельных циклов, охватывающих цилпндр, так как при повороте поля предельные циклы могут возникать из сгущения траекторий, пересекающих кривую Ф + Qy = О, разделяться и затем опять попарно в других сочетаниях сливаться и исчезать. Логическая возможность такого поведения остается неустраненной. Вокруг точки 0\ подобное произойти не может. Раз возникнув, предельные цпклы не мог-

ли бы исчезнуть, так как нри дальнейшем повороте поля петлп сепаратрисы вокруг точки Oi не возникают и 0\ не меняет устойчивости.

4, Расположение бифуркационных кривых. Отметим, что /с-кривые пересекают L и L"*" в определенной последовательности, и поэтому L ж яе пересекаются. Покажем, что кривая L+ целиком лежит в полосе f> < а < f> + 1.

Используем систему сравнения

dldt = y, dyldt = -sm~a, 0<р-а<1. (4)

Повторяя рассуждения, проведенные в п. 2 по отношению к системе сравнения (3), находим, что для значений параметров СХа < р система (1) не имеет предельных циклов.

Величина Рф -Ь Qy обраш;ается в нуль на верхнем полуцилиндре только на прямой у = s. Если эта прямая будет на цилиндре циклом без контакта, то двойные предельные циклы не могут суш;ествовать (гл. 6). Прямая y = s будет циклом без контакта, если

Р - sin ф - 2as 2 = Р - 81Пф - а<0

для всех ф, т. е. если а > f> + 1.

Кривая в полосе f> < а < f> + 1 пересекается с каждой из -кривых и идет при убывании s из бесконечности в точку на оси а.

Проследим за расположением кривой L. Качественная картина фазового пространства на любой х-кривой для малых s (для a = xs< р) представлена на рис. 173,0. При возрастании s вдоль х-кривых происходит монотонный поворот поля направлений, и поэтому каждая х-кривая может пересекать L не более одного раза. Рассмотрим систему сравнения

йфМ = у, dyldt = f> - sin ф - 2щ. (5)

Как известно (гл. 20, § 4), для каждого р (0<f><l) существует такое х*(р), что при x==xi<x*() со-сепаратриса седла Ог (я - arcsin р, 0) системы (5), выходящая на верхний полуцилиндр, пересекает ось i/ = О и уходит на нижний полуцилиндр.

Запишем систему (1) в виде

dldt = у, dyldt = р - sin ф - 2-Kys{s + у)-\ (6)

Поле направлений системы (6) повернуто по отношению к полю направлений системы (5) против часовой стрелки, и поэтому ю-сепаратриса системы (6) должна идти на нижний полуцилиндр при сколь угодно больших S, если и<и*(Р). На верхнем полуцилиндре для (6) при достаточно больших s и и<х*(Р) существуют неустойчивый и усто1гчивый предельные

циклы. Для любого % можно выбрать такое уи чтобы выражение р - sin ф - 2%у1 сохраняло знак при всех ф. Поэтому при больших S и для (6) на прямое! у = у\ выполняется dy/dt<0. Но так как на верхнем полуцилиндре бесконечность устойчива (см. п. 2), то вытекает существование для любого х неустойчивого предельного цикла выше прямой у = у\. Существование траекторий, накручивающихся на верхний полуцилиндр снизу вверх, и, следовательно, существование устойчивого предельного цикла следуют из указанного выше расположенпя со-сепаратрисы седла для % = <%*{?>). Заметим, что О < 2и* < 1,19 при О < р < 1 и и* -> О при р -> О [149].

Качественная картина фазового пространства для достаточно больших S на любой полупрямой а = %\8 представлена на рис. 173,2. Отметим, что jti-кривые не пересекают L. Так как существуют и-кривые, пересекающие L, ж L уходит в бесконечность {L пересекается с каждой из /с-крпвых, 0<к<°о), то L должна иметь одну из jt-кривых асимптотой. Она не может иметь второй асимптотой другую и-кривую или какую-либо прямую, параллельную оси s = О, так как не может пересекаться с /с-кривыми дважды. Кривая L при убывании s либо идет к некоторой точке оси s = О, либо имеет эту ось своей асимптотой. Покажем, что осуществляется первая из этих возможностей.

Для двух систем вида (1), соответствующих значениям параметров So и Si < So, контактной кривой на верхнем полуцилиндре будет = ysoSi. Если а> + 1, то контактная кривая располагается выше максимума тах = si (а - Уа - (р--1)) х Х(Р + 1)~ нижней ветви изоклины . горизонтальных наклонов.

Пусть на некоторой прямой <р = фо слева от седла О2 отмечены ординаты Tjo и r]i точек пересечения прямой с со-сепаратри-сами для системы (1) при s = so и s = S соответственно. Бек-торное поле системы (1) при s = si в полосе О < < VsoSi повернуто по отношению к векторному полю системы при s = So по часовой стрелке, и поэтому для всех si < so будет т)! > tjo. Так как при убывании s, максимум Ут неограниченно убывает, то для всех достаточно малых S будет m<Tii и со-сепаратриса системы (1) при s = si попадает в область выше максимума изоклины и должна накручиваться на верхний полуцилиндр.

Качественная структура фазового пространства представлена на рис. 173,i. На верхнем полуцилиндре существует один неустойчивый предельный цикл. Такая структура будет осуществляться для любых достаточно малых s при любых а > f> + 1, следовательно, кривые L не могут иметь ось s = О своей асимптотой.

Разбиение пространства параметров а, s для Р = const (О < <Р<1) представлено на рис. 174. Цифрами 0-2 отмечены области в пространстве параметров, соответствующие грубым структурам на рис. 173, отмеченным теми же цифрами. Негру-22*