5) См. [117, 92, 115].

§ 5. Топографическая система Пуанкаре. Функция Ляпунова. Кривые контактов*). Будем предполагать, что начало координат 0(0, 0) является состоянием равновесия системы (а).

Рассмотрим семейство аналитических кривых

F{x, у)=С,

обладающих следующими свойствами:

1) Функция F(x, у) определена и аналитична во всех точках некоторой области G, содержащей начало и не содержащей других состояний равновесия системы. В частности, область G может совпадать со всей плоскостью (х, у), и в этом случае F{x, у) стремится к бесконечности.

2) Fx {х, у) + Fy (ж, у) Ф о, если или у отличны от нуля.

3) f(0, 0)=0, f;(0,0) = 0, f;(0,0) = о,причем точка 0(0,0) является изолированной точкой кривой

F{x, i/)=0,

т. е. в окрестности этой точки F {х, у) может быть записана в виде

F (х, у) = ах + by + сху + Ег {х, у),

где ах + by + сху - определенно положительная квадратичная форма (ах + by + сху > о при всех х, у, не равных нулю одновременно) и Рз начинается с членов не ниже третьей степени.

При выполнении этих условий кривые F{x, у) = с в области G образуют систему замкнутых кривых, лежащих одна внутри другой и содержащих внутри начало координат.

При этом через каждую точку области G проходит только одна кривая. Семейство замкнутых кривых, обладающих указанными свойствами, называется топографической системой Пуанкаре.

Если мы подставим в функцию F{x, у) вместо х ш у решение системы (а), т. е. будем рассматривать функцию

F{xit), y{t)),

а затем продифференцируем ее по t, то получим

Fxix(t),y{t))xit) + Fy{xit),y(t))y{t).

Подставляя вместо x{t) и y{t) соответственно Р{х, у) и Q{x, yj и предполагая, что x{t), y{t)-любое из решений системы (А), мы получим «производную от функции F{x, у) в силу системы (А)», т. е.

= Fx {X, у) Р (х, у) + Fy (X, у) Q [х, у). (ц)

Отметим, что геометрическое место точек, в которых правая часть этого выражения обращается в нуль, является геометрическим местом точек, в которых кривые топографической системы касаются траекторий. Действительно, наклон касательной к кривой топографической системы есть - Fx/Fy, а к траектории есть {{х, у)1Р{х, у), и когда правая часть соотношения (11) обращается в нуль, эти наклоны равны. Если при всех значениях X, у ъ некоторой области G, содержащей начало 0(0, 0) (область G может совпадать с областью G или являться частью G), мы имеем

Fx {X, у) Р {X, у) + Fy {X, у) Q {х, у) Ф О,

то функция F{x, у) называется функцией Ляпунова для системы (А) в области G.

Очевидно, в этом случае кривые

F{x, у) = С

являются замкнутыми кривыми без контакта для траекторий системы (А). Если все траектории пересекают эти кривые при возрастании t, входя в них, т. е. если

dF{x, y)/dt<0,

состояние равновесия 0(0, 0) является устойчивым состоянием равновесия (его качественный характер будет такой же, как у узла или фокуса). Если все траектории пересекают эти кривые при возрастании t, выходя из них, т. е.

dF{x, y)fdt>0,

то состояние равновесия неустойчиво. Качественный характер его такой же, как и в предыдущем случае, только направление по траекториям прямо противоположно.

Геометрическое место точек, в которых кривые топографической системы касаются траекторий, называется кривой контактов. Уравнение кривой контактов имеет вид

Р{х,у) Fx {X, y) + Q {X, у) Fy {X, у) = 0.

Если удается выбрать топографическую систему так, чтобы кривая контактов имела изолированную точку в начале координат и не имела ветвей, уходящих в бесконечность, то такая топографическая система оказывается инструментом для улавливания предельных циклов. Предельный цикл (если он существует) должен пересекать кривую контактов, так как предельный цикл непременно касается каких-то кривых топографической системы и поэтому может лежать только межу крайними кривыми (внешней и внутренней), касающимися кривой контактов.

Vx + y

у -.-1-у..-. I xcosA-ysiirA

или

Ф = х + у + ах-Ух + усозА = 0.

В полярных координатах

Ф = г (г -f- а cos ф - cos А) = 0.

Следовательно, кривая контактов - окружность.

Радиусы крайних кругов топографической системы, касающихся кривой контактов, будут

Г1 = cos А - а, Гг = cos А + а.

Определим знак dc/dt на кривых r = ri и г = Г2:

==2х + 2у--2(х + у + ах- /ТрсозЛ).

В полярных координатах

dcjdt = -2г (г + а cos ф - cos А)

Если кривая контактов не имеет действительных ветвей, предельные циклы не могут существовать.

Пусть F{x, y) = Ci - внутренняя, а F{x, у) = Сг - внешняя кривые, касающиеся кривой контактов. Можно утверждать, что существует по крайней мере один предельный цикл (нечетное число), если между кривыми Ci и d нет особых точек и если производная

f-"if+ -z + i?

имеет разные знаки на кривых F = С\ и F = Ci [dFldt может обращаться в нуль в отдельных точках). Пример 1 [53].

dx , , жсозД -ysinA

„ , sin А -f У cos Д

---<А<-, 0<a<cosA.

В качестве топографической системы возьмем семейство окружностей х + у = с. Кривая контактов будет иметь вид

J, YT -(-. +