1) Задачу о числе корней функции на данном интервале можно рассматривать как простейшую задачу качественного характера (поскольку ставится вопрос только о числе корней, а не об их численных значениях).

{а<х<Ь)). По сделанному предположению относительно функций f{x) число их иа конечном интервале а<.х<.Ь обязательно конечно (но всегда, очевидно, можно указать функцию i(x), у которой иа этом интервале любое данное число корней). Однако функции рассматриваемого класса столь разнообразны (они зависят от счетного множества парал1етров, например коэффициентов тех рядов, в которые они могут быть разложены), что, очевидно, нет никаких возможностей дать метод определения числа корней иа интервале {а, Ь), годный для любо й из этих функций.

Если бы мы обратились к вычислительным методам, то могли бы «выловить» корни, находящиеся друг от друга на расстоянии, ие меньшем некоторого расстояния, допускаемого точностью вычислений. Между тем в силу широты рассматриваемого класса функций среди них всегда найдется функция, у которой корни находятся друг от друга иа меньшем расстоянии и количество их может быть равно любому данному числу иа рассматриваемом промежутке.

Таким образом, попытки установить общие, универсальные алгоритмические методы отыскания числа корней для указанного широкого класса функций заведомо лишены смысла.

Однако необходимо подчеркнуть, что ситуация делается совсем иной, когда класс рассматриваемых функций сравнительно узкий и зависит от конечного числа параметров. Так, например, если мы будем рассматривать всевозможные многочлены Р,,{х) данной фиксированной степени п и будем ставить вопрос о нахождении всех корней любого из этих многочленов

Р*п(х)=0,

то, как известно, для решения этой задачи существует регулярный алгоритмический метод - классический метод Штурма.

Несомненно, задача о регулярных методах отыскания корней функции, принадлежащей некоторому классу функций, отличному от многочленов, но также зависящему от конечного числа параметров (в случае, конечно, когда этот класс функций хорошо определен), имеет смысл и может решаться.

Все сказанное относительно рассмотренной задачи определения числа корней может быть перенесено и иа вопрос отыскания числа предельных циклов. Естественно думать, что, в то время как установление универсальных методов определения числа предельных циклов бессмысленно, в случае, когда правые части системы - любые аналитические (или иеаиалитические) функции, задача отыскания таких методов для систем узкого класса,

например для случая, когда правые части - многочлены данной фиксированной степени п, представляется имеющей смысл, однако, конечно, очень далекой от решения (такой метод определения числа предельных циклов был бы в некотором смысле аналогичен методу Штурма).

То же справедливо и в отношении динамических систем, правые части которых не обязательно многочлены, но зависят от конечного числа параметров.

Из сказанного выше очевидно, что не только для задачи определения числа и расположения предельных циклов, но даже для значительно более простой задачи - задачи определения числа состояний равновесия, которая сводится к определению числа общих корней пары функций

также можно сделать полностью аналогичные высказывания.

В случае, когда Р(х, у) и Q{x, у) - многочлены данной фиксированной степени п, эта задача при использовании результанта этих многочленов, очевидно, сводится к методу Штурма.

В случае, когда рассматривается клаес функций Р(х, у) и Q{x, у), не обязательно являющихся многочленами данной фиксированной степени п, но зависящих от конечного числа параметров, то задача установления регулярных методов отыскания числа их общих корней приобретает смысл.

Очевидно, по отношению к задаче установления расположения сепаратрис, тесно связанной с задачей отыскания состояний равновесия и предельных циклов, можно сделать аналогичные высказывания.

Всякая задача, возникающая из приложений, как правило, содержит то или иное конечное число параметров. Обычная задача качественного исследования такой системы заключается в установлении областей значений параметров с той или другой качественной структурой (т. е. с наличием тех или других режимов). При этом наиболее важным является указание тех областей значений параметров, в которых существуют предельные циклы или в которых предельные циклы отсутствуют.

В тех областях значений параметров, в которых есть предельные циклы,- в реальной системе, описываемой рассматриваемой динамической системой,- существуют автоколебания; в тех областях значений параметров, в которых нет предельных циклов, автоколебания отсутствуют.

Если динамическая система описывает какое-нибудь техническое устройство, то для устройств одного типа автоколебания вредны, для технических устройств другого типа (например, для генераторов) они нужны, так как они являются основой работы этого устройства.

Другими словами, качественное исследование системы, содержащей параметры, заключается в установлении разбиения пространства параметров бифуркационными пленками (в случае двух параметров - бифуркационными кривыми) иа области с одинаковым качественным поведением фазовых траекторий и при этом, конечно, в установлении этого качественного поведения. Очевидно, все понятия теории бифуркаций (понятие грубости, первой степени негрубостп, бифуркации) при этом крайне естественны и необходимы.

Методы качественного исследования динамической системы, правые части которой содержат параметры, использующие теорию бифуркаций, опираются на следующее общее, эвристически ие вызывающее сомнений утверждение.

Если известно множество всех бифуркационных значений параметров (или доказано их отсутствие), известен характер всех бифуркаций при прохождении через различные бифуркационные значения и, кроме того, известна качественная структура динамической системы при каких-либо частных значениях параметров, то, используя соображения непрерывности, можио иа основании этих сведений определить качественную структуру для любой точки во всем пространстве параметров.

Таким образом, знание бифуркационных значений параметров является очень важной задачей, так как знание этих параметров одновременно и помогает качественному исследованию, и дает разделение иа области с различными качественными структурами.

Трудиостр! в определении бифуркационных значений параметров заключаются в том, что явные аналитические выражения для условий, выделяющих бифуркационные значения параметров, фактически известны лишь в случае состояний равновесия (условия А = 0 и 0 = 0). Однако в некоторых случаях удается косвенными соображениями установить наличие той или другой бифуркационной поверхности.

Иногда удается весьма эффективно использовать cboiictbo поворота поля (в тех случаях, конечно, где поворот поля пмеет место), а также знание качественной структуры при некоторых частных значениях параметров и т. д. Отметим, что всюду (за небольшим исключением) в дальнейших примерах грубые динамические системы заполняют области.

Один из основных вопросов качественного исследования - вопрос отыскания предельных циклов - в некоторых прикладных задачах иногда удается решать весьма распространенным классическим методом исследования нелинейных систем - методом малого параметра.

Очевидно, этот метод тоже в каком-то смысле можио считать методом теории бифуркаций, так как в этом методе фактически рассматривается бифуркация от линейной (нелинейной) консер-