Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [ 3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

10 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

мерных динамических систем теория бифуркаций во многом аналогична с теорией бифуркаций на плоскости.

В заключение - о терминологии. В настоящее время в математической литературе становится также употребительной терминология, отличная от той классической, которая используется в настоящей книге. Так, например, вместо терминов «система дифференциальных уравнений» или «динамическая система» для многомерных динамических систем или систем на многообразиях часто используется термин «поток» (см., например, [111]). Однако, во-первых, в настоящей книге рассматриваются лишь системы на плоскости и, во-вторых, материал эгой книги тесно связан с литературой прикладного направления (например, [3]), использующей классическую терминологию. Поэтому авторы не используют также термины «диффеоморфизм», «сечение» и др., ставшие распространенными в современной математической литературе.

Авторы



ЧАСТЬ I

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

ГЛАВА I

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ НА ПЛОСКОСТИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

§ 1. Автономная динамическая система на плоскости. Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. уравнения

x-f{x,x,t)=0. (!)

Если положить х = г/ и,, следовательно, х = у, то уравнение (I)] очевидно приведется к системе двух дифференциальных уравнений вида

х = У, y = f{x, у, t). (II)

Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнения (I). Во многих задачах при написании уравнений движения удобно вводить обобщенные координаты и импульсы, и тогда, пользуясь уравнениями Лагранжа, мы можем получить систему двух дифференциальных уравнений более общего вида, т. е. какую-либо систему вида

x = F{x, у, t), y = G{x, у, t); (III)

F{x, у, t) не обязательно равно у, как в системе (II).

В настоящей книге рассматривается тот частный случай системы (III), когда независимое переменное t в правые части системы не входит, т. е. система имеет вид

х = Р{х,у), y = Q{x,y). (А)

Такая система в случае, когда функции Р{х, у), Q{x, у) определены на всей плоскости (х, у) (х, у - декартовы координаты) или в некоторой области G плоскости (ограниченной или неограниченной)), удовлетворяет условиям теоремы существования и

) Напомним, что в области G в пространстве любого числа измерений все точки внутренние. Если к области присоединяется граница, например к внутренности круга - граничная окружность, то говорят, что рассматривается замкнутая область G. В замкнутой области граничные точки имеют другие свойства (не все сколь угодно близкие к ним точки принадлежат G).



) Динамическая система второго порядка может быть определена не толыю па плоскости, но и на двумерных поверхностях. Однако в настоящей книге рассматриваются только динамические системы на плоскости и на «цилиндре» (см. гл. 12).

2) Для приложений в основном представляют интерес либо динамические системы с аналитическими правыми частями, либо диналгические системы, имеющие кусочно-аналитические правые части (такими кусочно-аналитическими системами являются системы с сухим трением, системы автоматического регулирования, а также всевозможные устройства с z-харак-теристикой). Кусочно-аналитические («кусочно-склеенные», «кусочно-сшитые») системы рассматриваются в части IV настоящей книги.

*) В случае, когда t входит явно в правые части системы двух дифференциальных уравнений (III), область, в которой они определены, очевидно, может быть любой.

) Для справедливости теоремы существования и единственности решения, очевидно, нужны гораздо более слабые предположения, чем сделанное нами предположение об аналитичности правых частей. Более подробную формулировку теоремы о существовании и единственности решения как для случая системы (А), так для случая общей системы (III) и ее доказательство см., например, [115, 134].

единственности решения (см. § 2) и называется автономной динамической системой второго порядка (в области G)).

В настоящей книге рассматривается случай, когда Р{х, у) и Q{x, у) являются аналитическими функциями (т. е. Р{х, у) и Q{x, у) в окрестности всякой точки М{х, у)- области определения динамической системы G - могут быть разложены в сходящиеся ряды по степеням х и у)).

Система (А) является частным случаем системы (III), правые части ее не содержат явно t, в силу чего как область пространства {х, у, t), в которой должны рассматриваться ее правые части, так п решения этой системы обладают некоторыми частными свойствами.

Пусть G - область плоскости {х, у) (в частности, могущая совпадать со всей плоскостью {х, у)), в которой определены функции Р{х, у) и Q{x, у). Тогда правые части системы (А), рассматриваемые как функции X, у, t, определены в области R пространства (х, у, t) (х, у, f - декартовы координаты), состоящей из всевозможных точек М{х, у, t), у которых t может быть любым, а X и у таковы, что точка с этими координатами принадлежит области G плоскости {х, у). Область R является, следовательно, бесконечной цилиндрической областью, образованной прямыми, параллельными оси t, пересекающими плоскость в точках области С).

§ 2. Теорема существования и единственности решения. Так

как мы предположили, что функции Р(х, у) и Q(x, у) в области G являются аналитическими функциями, во всех точках области R очевидно обеспечены условия, при которых справедлива теорема существования и единственности решения системы (А)).




[0] [1] [2] [ 3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0356