Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [ 131 ] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

(т-Аф[1-,г(2Р-Ьг) У]

и проинтегрирована.

Состояние равновесия Ог - всегда седло. Седловая величина будет иметь значение

{Р + Qy)2 = - (3)

Существенно, что выражения Рц, + Qy для фокуса и для седла имеют одинаковое значение. Как будет показано, это определяет существенные особенности структуры разбиения фазового пространства и пространства параметров.

3. Предельные циклы. Если систему (1) записать в виде

d(p/dt = Ну, dy/dt = - Яф -Ь [iq (ф, у), (4)

где (ф, г/) = [-а -Рс(2ф) + 1Г5(ф)]г/, то значения константы ho, выделяющие кривые Сн консервативной системы, вблизи которых при малом р будут предельные циклы системы (4), определяются как корни уравнения г)(/г) = 0, где

{h)= f j" йф йг/ = - j" j [а -Ь рс (2ф) - ys (ф)] йф dy =

= - j[a-b рс(2ф)-75(ф)]г/йф. (5)

Чтобы выполнить интегрирование, нужно сделать определенные предположения о расположении петли сепаратрисы консервативной системы на плоскости и тем самым о числе кусков, из которых сшивается кривая Ch.

а) Пусть 2 ->2<Т<1. При изменении h в интервале -я(1 - Т)/2 < < -л(1 - Т)/4 кривые Си будут эллипсами, целиком расположенными в полосе (О, я/2), а интервалу (-я/4) (1 - Т)2 < < О будут соответствовать замкнутые кривые, сшитые из кусков эллипса и гиперболы, расположенных соответственно на полосах (О, л/2) и (я/2, я).

2. Состояния равновесия, Седловая величина. Система (1) имеет при Т<1 два состояния равновесия: Oi{nT/2,0) и 02(я - яТ/2,0). Состояние равновесия Oi будет неустойчивым фокусом, если для точки Oi будет

(Рф + Qv)i = - (i (а + Р - 2рГ - 7Г) = - fia > О, а < О,

устойчивым фокусом, если а > О, и центром, если а = 0. В последнем легко убедиться: при условии а = а + р - 2рТ - = О система (1) на полосе Офя/2 может быть представлена в виде



Выполняя интегрирование, ползгчим

-oFgQi), -aKh<-a/2,

-aFh), -a\/2<h<:0.

Здесь

= 4- (1 - Л% 0 (h) = /2я/ (a + h).

Fi (/i) = /2 [a Y2h + +

+ (fe + ai Имеем также

F;(fe) = /2

- + arcsm

feln >+l +

2 /2(й + а);

я , . a , , l/2ft + a -1- a

-УГ + arcsm , == + In-, -

2 /2(Л + а2) У-2Й

() = -ЙГГ?Г~

F, (- = Yn/2abi, F[ (- al2) = Y2n\ Fli- a/2) = 0.

Таким образом, функция tfi(fe) сшивается из линейной функции -oFq на интервале -а < fe < -а/2 и монотонной на интервале -а?12 < fe < О, имеюгцей с функцией -oFq одинаковый знак производной. Функция itfe) будет убывающей при а > О, возрастающей при о < О и будет тождествеппо обращаться в пуль при а = 0.

Предельных циклов в рассматриваемом случае 2 ->27<1 нет. При 0 = 0 существует внутри петли сепаратрисы континуум замкнутых кривых. При о О характер устойчивости фокуса одиозиачио определяет структуру разбиения фазового цилиндра на траектории. На рис. 205, 1, 1-4, 4 изображены структуры разбиения фазового пространства соответственно для случаев о < О, о = О и а > 0.

б) Пусть 3 -2У27<2 -У2. Фазовые траектории консервативной системы располагаются при этом не более чем на трех полосках (не выходят на полосу (-я, -я/2)). Положим также для определеппости, что Т > 0,5 (случай Т < 0,5 апалогичеи случаю Т > 0,5, по отвечает другой иоследовательпости интервалов изменения fe, соответствующих определенному числу сшиваний); для 7<0,5 будет

--{1-ТГ<:-~{Т-АТ + 2)<--2l(i f)2<0;



-2{h + a)y2a - Ь\я - 2arcsin ф£=

Имеем также

Ш = 4(2/г + b2)V2 2/2a2 - b (я-2arcsin -),

\ y2{h + a)/

ft -j- a

(- b/2) = (- b/2) = (- bV2) = 0, F (- Ь2/2) > о.

Из последнего следует, что F2{h) на интервале ~Ь/2 < h 0 есть функция, принимающая положительные значения, монотонно возрастающая и обращающаяся в нуль в единственной точке h = -Ъ12.

Выражения (7) определяют г)() как непрерывную функцию, сшитую из трех кусков с различными аналитическими представлениями на интервалах {-а, ~а/2), {-а/2, -Ь/2) и (-Ь/2,0). Функция \p{h) на интервале {-а, -Ь/2) имеет знак, противоположный знаку а, обращаясь ири а = 0 в нуль тождественно. На интервале {-Ь/2,0) функция состоит из двух слагае-

мых, одно из которых положительно, а другое имеет знак, противоположный знаку а. Выбором а значение г)() на всем интервале (-Ь/2,0) может быть сделано как положительным, так и отрицательным.

Проследим за корнями функции (h) и изменением качественной структуры разбиения фазового пространства на траектории ири возрастании о от отрицательных значений. При а<0 функция if)(fe) на всем интервале (-а, 0) будет положительной.

ДЛЯ Т > 0,5 будет

(1 Г)2 < (1 J)2 <- (Г2 4у + 2)< 0.

Выполняя интегрирование в формуле (5) для случая 0,5 < <Т<2~12, получим

- aFo(fe), - a2<fe< -а2/2,

-{h) = - «71 №). - «/2 < < - Ь/2, (7)

12{Щ - oF,{К), -b/2h0.

Здесь 6 =--я (Т - 4-Ь 2), Fo{h} и Fi (/г) имеют значение, указанное в (6), и Fzih) будет F (h) = 2 {2а - b)V2h+T + --(2fe + bf/




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [ 131 ] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.041