dx dx dy dz dx

Если ввести параметр t, полагая dx/dt = dF/dz, то для параметрических уравнений кривой, лежащей на поверхности (7), мы получим дифференциальные уравнения

dx dy dF dz

dt ~ dz dt dz dt

dx dy

Нетрудно видеть, что система (10) определяет векторное поле на поверхности (7), а решение этой системы

x = x{t), y = y(t), z = z(t)

- проходящую через точку (хо, г/о, о) поверхности (7) целиком лежащую на ней траекторию этой системы.

Мы предполагали, что при рассматриваемых начальных значениях Хо, г/о, Zo выполняется условие дР{хо, г/о, zo)/dx¥=0. При значениях хо, г/о, 2о, при которых одновременно

F{xo, Уо, Zo) = 0, dF(xo, уо, zo)/dz = 0,

решения уравнений dy/dx = f{{x, у) с разными i могут сливаться (в этих точках касательная плоскость к поверхности параллельна оси z).

ние (pi{x) каждого из уравнений (6), очевидно, является решением уравнения (4). Через точку (хо, г/о) плоскости (х, у) проходит к интегральных кривых г/ = ф( (х) с различными касательными. При некоторых значениях хо, г/о мы, очевидно, можем не получить ни одного действительного значения для dy/dx.

Однако при рассмотрении неявного уравнения (1) естественно пользоваться его геометрической интерпретацией как уравнения на двумерной поверхности. Именно, рассмотрим поверхность

F{x,y,z) = 0. (7)

Пусть, как и выше, (хо, г/о, zo) - точка, в которой

F{xo, у о, zo) = 0, dF(xo, у о, zo)/dzO, (8)

и dy/dx = ft{x, у) - одно из дифференциальных уравнений (6), а г/ = ф,(х)-его решение, удовлетворяюш;ее начальным значениям Хо, Уо-

Рассмотрим пространственную кривую, заданную уравнениями

= ф.(х), 2 = ф(х), (9)

т. е. кривая (9) лежит на поверхности (7). Пара функций г/= = ф(х), 2 = ф(ж) удовлетворяет, как нетрудно видеть, следующим дифференциальным уравнениям:

dy OF dF dF dz

- 2, -f- rr-Z -t- --T- - U.

) Очевидно, здесь идет речь об особых точках самой поверхности, что не следует путать с особыми точками векторного поля системы (10), заданной на поверхности.

) Эта поверхность является фазовым пространством для системы (10),

Если рассматриваемая поверхность F{x, у, z) = 0 не имеет особых точек т. е. ни в одной точке поверхности пе выполняются одновременно равенства = О, Fy = О, Fz = О, то точки, в которых одновременно

Fix,y,z) = 0,- = 0, + z- = 0,

являются, очевидно, состояниями равновесия системы (10). Состояния равновесия могут иметь тот же характер, что и на плоскости.

Поверхность, па которой рассматривается система (10), может быть как замкнутой, так и пе замкнутой*). Замкнутые поверхности (без особых точек) в трехмерном пространстве полностью расклассифицированы: это поверхности типа сферы или сферы с различным числом «ручек» (двумя, тремя и т. д.).

При рассмотрении динамических систем па поверхностях часто бывает целесообразно перейти от декартовых координат х, у к «локальным» координатам па поверхности (которые па поверхностях, отличных от тора, вводятся значительно сложнее, чем па торе).

Не останавливаясь в настоящем беглом обзоре сколько-нибудь подробно па свойствах динамических систем па поверхностях, отметим все же некоторые основные факты.

Траекториями динамических систем на поверхностях кроме траекторий тех же типов, что и па плоскости, могут быть еще незамкнутые, устойчивые по Пуассону, а также незамкнутые и неустойчивые по Пуассону траектории, имеющие в качестве предельных а- и о)-устойчивые по Пуассону (незамкнутые, самопредельные). В связи с наличием у динамических систем на поверхностях новых типов траекторий вопрос о схеме динамической системы на поверхности решается только для простейших случаев. Понятие грубости динамической системы на поверхности имеет то же значение, что и в плоской области, а необходимые и достаточные условия грубости системы с небольшими модификациями те же, что и в плоской области.

Вообще же в динамических системах на поверхностях возникает целый ряд новых по сравнению с динамическими системами на плоскости вопросов. Мы отсылаем читателя к специальной литературе (см. [16, 17, 3*]).

§ 2. Динамические системы в п-мерном евклидовом пространстве.

Существенные отличия от систем на плоскости и от систем на поверхностях обнаруживаются уже при w = 3. В трехмерной

системе

х = Р{х, у, z), y = Q{x,y,z), z = R{x, у, z)

наряду с состояниями равновесия и замкнутыми траекториями возможны траектории всех тех типов, что и на двумерных поверхностях и, в частности, незамкнутые устойчивые по Пуассону (незамкнутые самопредельные).

Однако установление всех возможных типов траекторий, аналогичное теории Пуанкаре - Бендиксона (гл. 2), для случая га > 2 значительно сложнее. У динамической системы на плоскости, если траектория L имеет незамкнутую предельную траекторию Lo, то Lo среди своих предельных точек может иметь только состояния равновесия. В динамических системах числа измерений га > 2 возможна бесконечная цепочка траекторий, обладающих тем свойством, что все они отличны от состояния равновесия и каждая траектория Lj+i является предельной для L{. Пример такой динамической системы с неаналитической правой частью см. [96]. Вопрос о возможности такой же ситуации в аналитической системе остается открытым.

Обратимся к вопросу о перенесении понятий, введенных дпя двумерных систем, на трехмерные и большего числа измерений. Рассмотрим, какой характер имеют простейшие «грубые» состояния равновесия и предельные циклы трехмерной системы. Возможны следующие случаи грубых состояний равновесия:

а) узел и фокус, устойчивый или неустойчивый, когда все траектории, достаточно близкие к состоянию равновесия, стремятся к нему при t -* +00 или -> - «>;

б) седло и седло-фокус; у седла и седло-фокуса есть двумерная сепаратрисная поверхность и две изолированные сепаратрисы (по разные стороны от сепаратрисной поверхности); на сепа-ратрисной поверхности седла есть узел, а на сепаратрисной поверхности седло-фокуса - фокус; все другие траектории, проходящие через достаточно малую окрестность седла и седло-фокуса, выходят из его окрестности и при возрастании, и при убывании t.

Качественный характер седла и седло-фокуса тождествен (в смысле, полностью аналогичном такому понятию, введенному для двумерных систем).

Характер указанных состояний равновесия наглядно и просто можно посмотреть на примере линейных систем. Для системы

х = ах+ by, у = СХ + dy, z = {z

в начале координат при (а - d) + АЬс>0 будет седло, а при (а - d) + Abe < О - седло-фокус.

Аналогично тому, как окрестность предельного цикла двумерной динамической системы изучается с помощью функции последования, в трехмерном пространстве окрестность замкнутой траектории изучается с помощью «отображения Пуанкаре»-