Подкоренное выражение в знаменателе, очевидно, может быть записано в виде

Так как пределы интегралов в (12) ив (13) являются корнями подкоренного выражения, то оба эти интеграла несобственные, но, очевидно, оба сходящиеся, так как они могут быть представлены в виде

И соответственно

{k-y){2y + 3h)

/(г-<)(-г/)С,ы

Выражения для ifii(A, к) и Р

if)2(A, к) отличаются только

видом аналитической зависимости от h нижнего предела интеграла. Так как

бз (0) = е* (0) = О,

то равны предельные значения i{h, к) и {h, к) нри и мы можем рассматривать эти функции как значения одной и той же непрерывной функции if;(А, к), определенной для всех h>-2/3. Нетрудно найти значение ifi(0, к): оно просто выражается через значение гамма-функции; так как ei(0) = y3, 62(0) = О, то находим из (12) Уз

if(0,;c) = 4 С4М?-г/

= Ак /3 j

dx

-12 /sj

-dx =

= 4/3

1/яГ(3/4) . о 1/яГ(5/4) 4Г(5/4) 4Г{7/4

4л / 6л

Г(1/4)

Г- (1/4)

(14)

Покажем теперь, что: 1) if)(-2/3, А;) = 0 (независимо от к); 2) для любого к можно выбрать столь большое h, что if)(/i, к) будет отрицательно.

При h--213 в (12) не только длина промежутка интегрирования ei - 62, но также числитель и знаменатель стремятся к

Тогда получим)

/ о\ в? - ЗЛ de,

Tj; (h, к) = 2 {к - 3el) arccos

Зе dh

2 (fc - Зег) arccos " +

J к-3у1- к-Зу

J /9/--(,з ЗЛ) J/V-(/-3ft)

) h входит и в подынтегральное выражение, и в пределы интегрирования, поэтому нужно использовать соответствующую формулу дифференцирования интегралов по параметру.

нулю. Преобразуем поэтому (12) с помогцью подстановки г/ = =•62+ (ei - е2)8т2ф, отображающей интервал ei - e изменения у на интервал (О, л/2) новой переменной Ф. Знаменатель в (12) можно представить в виде

V -(3/1 - У)-iy-ei){y- 62) {у - ег) {Sh - Зу - у)

(бз - отрицательный корень уравнения y - 3y = 3h). Поэтому

lim ih,k)= lim Г-4ЁЖ±М=ЙФ = 0.

*-2/3 Л-2/3 у (у- (у" + Зг, - 3h)

Так как ег < г/ < ei и при - 2/3 и ег, и ei стремятся к единице и знаменатель остается положительным, а 2у + 3h- О, то, следовательно, limij;(/i, А;) = 0, если h--2/3.

Чтобы оценить значение -[{h, к) при больших h, обратимся к выражению (10)

rp{h,k) = 2y(k-y)d о

и заметим, что минимум кривой г/(ф) (см. рис. 150), определяемый в зависимости от h уравнением у + Зу = 3h, неограничено возрастает с возрастанием h (см. рис. 151). Таким образом, при фиксированном к для достаточно больших h подынтегральное выражение становится отрицательным, т. е. {h, к)<0.

Сопоставляя этот результат с выражением для ip (О, к), можем заключить, что для тех значений к, при которых {0, к)> О, всегда существует по крайней мере один положительный корень уравнения i;(/i, к)=-0.

Для более подробного изучения поведения i])(/i, к) найдем i)(/i, к). Функцию il?(/i, к) удобно для этого взять в виде

ф (/I, А;) = 2 f (А; - 3) arccos dy.

Так как ei(h) и ег (/г.)-положительные корни уравнения y-3y = 3h (которое получается, если в уравнение (5) подставить ф = 0), то, очевидно, находя производные deJdh-E. de2/dh как производные от неявной функции, мы получим

f!l = 1 2 1

dh e2 i dh el-l

Эти выражения конечны для всех h¥= ~ 2/3.

Выражение (15) дает значение if)(/i, к) для -2/3</i<0. Для h>Q получаем, дифференцируя (10),

Vih,k) = 2l(k-3y) ЙФ = 2 -5йф. (16) о о

Последнее выражение, разумеется, можно было бы преобразовать к виду, совершенно аналогичному (15) (с заменой только ег на е*), переходя к переменной у.

Выражения (15) и (16) определяют ф(/г., к) в интервалах - 2/3 </г.<0и/1>0. Нетрудно показать, что для А; > О

lim Tj;(/i, к) = Иш {h, к)= + оо; (17)

для А; < о

Иш гр {h, к) = Иш тр Qi, к)= - оо

Л-+О ft-»-о

и для А; = о

Иш ip (/i, 0) = lim (/i, 0) = - 9я/2.

Найдем также предельное значение ф {h, к) при /г. ->- 2/3. Преобразуя опять (16) подстановкой

= e2 + (ei -e2)sin2 0

и замечая, что

ei(- 2/3)=е2(-2/3) = 1

и, следовательно, г/(Ф, -2/3)1, а также, что ез(-2/3) = -2, получаем

Ит гр(й, /с) = Ит 12 .. dФ = п /2(/с-3).

ft-2/3 К(2-ез){/ + Зг/-Зй)

(18)

Выражения (15) -(18) определяют ip(/i, А;) при А;>0 как однозначную непрерывную функцию в интервалах

- 2/3 < /I < О, О < /К + оо, принимаюгцую при малых h положительное значение.